Як помножити вектор на матрицю. множення матриці на вектор стовпець.

В теорії матриць вектором називається матриця, що має тільки один стовпець або тільки один рядок. Множення такого вектора на іншу матрицю відбувається за загальними правилами, однак має і свої особливості.
Інструкція
1
За визначенням твори матриць множення можливо тільки в тому випадку, якщо кількість стовпців першого множника дорівнює кількості рядків другого. Отже, вектор-рядок вдасться помножити тільки на матрицю, в якій стільки ж рядків, скільки елементів у вектор-рядку. Аналогічно, вектор-стовпець можна помножити тільки на матрицю, в якій стільки ж стовпців, скільки елементів у вектор-стовпці.
2
Множення матриць некомутативними, тобто якщо A і B - матриці, то A * B? B * A. Більш того, існування твору A * B зовсім не гарантує існування твору B * A. Наприклад, якщо матриця A має розміри 3 * 4, а матриця B - 4 * 5, то твір A * B - матриця розміром 3 * 5, а B * A не визначене.
3
Нехай заданий: вектор-рядок A = [a1, a2, a3 ... an] і матриця B розмірності n * m, елементи якої рівні: [b11, b12, b13, ... b1m; b21, b22, b23, ... b2m; ... bn1, bn2, bn3, ... bnm].
4
Тоді твір A * B буде вектор-рядком розмірності 1 * m, причому кожен елемент її дорівнює: Cj =? Ai * bij (i = 1 ... n, j = 1 ... m) .Інимі словами, для знаходження i-того елемента твори потрібно помножити кожен елемент вектора-рядка на відповідний йому по порядку елемент i-того стовпця матриці і підсумувати ці твори.
5
Аналогічно, якщо задана матриця A розмірності m * n і вектор-стовпець B розмірності n * 1, то їх добуток буде вектором-стовпцем розмірності m * 1, i-тий елемент якого дорівнює сумі творів елементів вектора-стовпця B на відповідні їм елементи i-того рядка матриці A.
6
Якщо A - вектор-рядок розмірності 1 * n, а B - вектор-стовпець розмірності n * 1, то твір A * B є числом, рівним сумі добутків відповідних елементів цих векторів: c =? Ai * bi ( i = 1 ... n) .Це число називається скалярним, або внутрішнім, твором.
7
Результат множення B * A в цьому випадку є квадратною матрицею розмірності n * n. Її елементи дорівнюють: Cij = ai * bj (i = 1 ... n, j = 1 ... n) .Така матриця називається зовнішнім твором векторів.
Якщо про одну з двох крайніх точок довільного відрізка можна сказати, що саме вона є початковою, то цей відрізок слід називати вектором. Початкову точку вважають точкою докладання вектора, а довжину відрізка - його довжиною або модулем. З векторами можна здійснювати різноманітні операції, в тому числі і множити на довільне число.
Інструкція
1
Визначте довжину (модуль) вектора, який потрібно помножити на число. Якщо цей вектор зображений на якомусь кресленні, то просто виміряйте відстань між його початковою і кінцевою точками.
2
Якщо рішення треба відобразити на папері, то виміряну на попередньому кроці довжину (модуль) вектора помножте на абсолютне значення числа, даного у вихідних умовах завдання. Наприклад, якщо довжина вектора дорівнює 5см, а число, на яке треба множити, одно -7,5, то перемножте 5 на 7,5 (5 * 7,5 = 37,5см).
3
Відобразите отриманий результат на папері. При цьому початкова точка буде співпадати з вихідною, а кінцева повинна відстояти від неї на відстань, отримане вами на попередньому кроці. Якщо число, на яке множиться цей спрямований відрізок, негативно, то напрямок результуючого вектора зміниться на протилежне, а якщо позитивно - просто продовжите існуючий відрізок до нової довжини.
4
Якщо початкова та кінцева точки вихідного вектора задані в якій-небудь системі координат, то найпростіше спочатку визначити координати нової кінцевої точки. Для цього визначте довжини проекцій на кожну з координатних осей і помножте їх на заданий число окремо. Наприклад, нехай спрямований відрізок AB в тривимірній системі координат визначений початковою точкою A (1; 4; 5) і кінцевою точкою B (3; 5; 7), а помножити його треба на число 3. Тоді довжина проекції на вісь X дорівнює 3- 1 = 2, а після множення на 3 вона повинна стати рівною 2 * 3 = 6. Аналогічно розрахуйте нові довжини проекцій на осі Y і Z: (5-4) * 3 = 3 і (7-5) * 3 = 6. Потім обчисліть координати нової кінцевої точки (C), додавши отримані величини проекцій до координат початкової точки: 1 + 6 = 7, 4 + 3 = 7 і 5 + 6 = 11. Тобто результуючий вектор AC буде утворений початковою точкою A (1; 4; 5) і кінцевою точкою С (7; 7; 11).