Як знайти косинус кута прямокутного трикутника.

Косинус - це одна з двох тригонометричних функцій, віднесених до групи «прямих». Одне з найпростіших визначень таких функцій дуже давно було виведено зі співвідношень довжин сторін і величин кутів в вершинах прямокутного трикутника. Обчислення значення косинуса гострого кута такого трикутника по цих базовим визначень можливо кількома способами, вибір яких залежить від відомих вихідних даних.
Інструкція
1
Якщо відома величина цікавить вас гострого кута, то обчислення зведеться до знаходження значення косинуса за допомогою будь-якого калькулятора або онлайн-обчислювача. Якщо ви виберіть калькулятор, то використовуйте, наприклад, вбудовану в ОС Windows програму цього роду. Вона запускається через головне меню на кнопці «Пуск», в якому посилання «Калькулятор» поміщена в підрозділ «Службові» розділу «Стандартні», що відкривається вибором в меню пункту «Усі програми».
2
Якщо відома величина не того кута, косинус якого потрібно обчислити, а кута, що примикає до протилежного кінця гіпотенузи, то виходьте з того, що в евклідової геометрії сума всіх кутів трикутника завжди дорівнює 180 °. Використовуючи цю класичну теорему обчисліть потрібний кут - відніміть від 180 ° відомий кут і кут прямий (90 °). Після цього вихідні дані і метод обчислення співпадуть з тими, що описані в попередньому кроці.
3
Якщо величини гострих кутів прямокутного трикутника невідомі, але є дані про довжини його сторін, то для знаходження значення косинуса потрібного кута задійте базове визначення цієї тригонометричної функції. Воно стверджує, що косинус гострого кута дорівнює співвідношенню довжин катета і гіпотенузи, які складають цей кут.
4
Якщо довжина саме того катета, який прилягає до потрібного кутку, невідома, то її можна розрахувати, виходячи з теореми Піфагора, а потім вдатися до методу, описаного в попередньому кроці. Як ви напевно пам'ятаєте, ця теорема стверджує, що сума квадратів довжин катетів прямокутного трикутника завжди дорівнює квадрату довжини його гіпотенузи. Тому для обчислення довжини відсутньої боку знайдіть квадратний корінь з різниці між квадратами довжин гіпотенузи і відомого катета, а потім дійте так, як описано в попередньому кроці.
5
Якщо невідома довжина гіпотенузи, то використовуйте ту ж саму теорему - знайдіть значення квадратного кореня з суми зведених в квадрат довжин катетів і повертайтеся до методу, описаного в третьому кроці.
Нерідко в геометричних (тригонометричних) завданнях потрібно знайти косинус кута в трикутнику, бо косинус кута дозволяє однозначно визначити величину самого кута .
Інструкція
1
Щоб знайти косинус кута в трикутнику, довжини сторін якого відомі, можна скористатися теоремою косинус ів. Відповідно до цієї теореми, квадрат довжини сторони довільного трикутника дорівнює сумі квадратів двох його інших сторін без подвоєного твори довжин цих сторін на косинус кута між ними: а? = B? + C? -2 * B * c * соs ?, де: а, b, с - сторони трикутника (точніше їх довжини) ,? - Кут, протилежний стороні а (його величина) .З наведеного рівності легко знаходиться соs?: Соs? = (B? + C? -а?)/(2 * b * c) Приклад 1.Імеется трикутник зі сторонами а, b , с, рівними 3, 4, 5 мм, соответственно.Найті косинус кута, укладеного між великими сторонамі.Решеніе: За умовою задачі маємо: а = 3, b = 4, с = 5.Обозначім протилежний стороні а кут через?, тоді, згідно виведеної вище формулою, маємо: соs? = (b? + c? -а?)/(2 * b * c) = (4? +5? -3?)/(2 * 4 * 5) = (16 + 25-9)/40 = 32/40 = 0,8Ответ: 0,8.
2
Якщо трикутник прямокутний, то для знаходження косинус а кута достатньо знати довжини всього двох будь-яких сторін ( косинус прямого кута дорівнює 0) .Нехай мається прямокутний трикутник зі сторонами а, b, с, де с - гіпотенуза.Рассмотрім всі варіанти: Приклад 2.Найті соs ?, якщо відомі довжини сторін а і b (катети трикутника) Скористаємося додатково теоремою Піфагора: c? = b? + а?, с = v (b? + а?) соs? = (b? + c? -а?)/(2 * b * c) = (b? + b? + а? -а?)/(2 * b * v ( b? + а?)) = (2 * b?)/(2 * b * v (b? + а?)) = b/v (b? + а?) Щоб перевірити правильність отриманої формули, підставимо в неї значення з прикладу 1, тобто = 3, b = 4.Проделав елементарні обчислення, отримуємо: соs? = 0,8.
3
Аналогічно знаходиться косинус в прямокутному трикутнику в інших випадках: Приклад 3.Ізвестни а і з (гіпотенуза і протилежний катет), знайти соs? B? = С ? -а?, b = v (c? -а?) соs? = (b? + c? -а? )/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?))=(2*с?-2*а?)/(2*с*v(с?-а?))=v(с?-а?)/с.Подставляя значення а = 3 і с = 5 з першого прикладу, отримуємо: соs? = 0,8.
4
Приклад 4.Ізвестни b і с (гіпотенуза і прилегла катет) .Знайти соs? Провівши аналогічні (показання в прикладах 2 і 3 перетворення), отримаємо, що в цьому випадку косинус в трикутнику обчислюється по дуже простій формулі: соs? = b/с.Простота виведеної формули пояснюється елементарно: фактично, прилегла до куті? катет є проекцією гіпотенузи, тому його довжина дорівнює довжині гіпотенузи, помноженої на соs? .Подставляя значення b = 4 і с = 5 з першого прикладу, отримаємо: соs? = 0,8Значіт, всі наші формули вірні.