Як знайти похідну неявної функції.

Функції задаються співвідношенням незалежних змінних. У разі, якщо рівняння, що задає функцію, не вирішуване щодо змінних, то функція вважається заданою неявно. Для диференціювання неявних функцій існує особливий алгоритм.
Інструкція
1
Розгляньте неявну функцію, задану деяким рівнянням. При цьому неможливо виразити залежність y (x) в явному вигляді. Наведіть рівняння до виду F (x, y) = 0. Щоб знайти похідну y '(x) від неявної функції, спочатку продіфференціруйте рівняння F (x, y) = 0 по відношенню до змінної x, враховуючи, що y дифференцируема по x. Використовуйте правила обчислення похідної складної функції.
2
Вирішіть отримане після диференціювання рівняння відносно похідної y '(x). Підсумкова залежність і буде похідною неявно заданої функції по змінній x.
3
Вивчіть приклад для найкращого розуміння матеріалу. Нехай функція задана в неявній формі як y = cos (x? Y). Наведіть рівняння до виду y? Cos (x? Y) = 0. Продіфференціруйте це рівняння по змінній x, застосовуючи правила диференціювання складної функції. Отримуємо, y '+ sin (x? Y)? (1? Y') = 0, тобто y '+ sin (x? y)? y'? sin (x? y) = 0. Тепер вирішите отримане рівняння щодо y ': y'? (1? Sin (x? Y)) =? Sin (x? Y). У підсумку виходить, що y '(x) = sin (x? Y)? (Sin (x? Y)? 1).
4
Знайдіть похідну неявної функції декількох змінних наступним чином. Нехай задана функція z (x1, x2, ..., xn) в неявній формі рівнянням F (x1, x2, ..., xn, z) = 0. Знайдіть похідну F '| x1, вважаючи змінні x2, ..., xn, z постійними. Аналогічно обчисліть похідні F '| x2, ..., F' | xn, F '| z. Після цього висловіть приватні похідні у вигляді z '| x1 =? F' | x1? F '| z, z' | x2 =? F '| x2? F' | z, ..., z '| xn =? F' | xn? F '| z.
5
Розгляньте приклад. Нехай задана функція двох невідомих z = z (x, y) формулою 2x? Z? 2z? + Yz? = 6x + 6z + 5. Наведіть рівняння до виду F (x, y, z) = 0: 2x? Z? 2z? + Yz 6x? 6z? 5 = 0. Знайдіть похідну F '| x, вважаючи y, z постійними: F' | x = 4xz? 6. Аналогічно, похідна F '| y = z ?, F' | z = 2x? -4z + 2yz? 6. Тоді z '| x =? F' | x? F '| z = (6? 4xz)? (2x 4z + 2yz? 6), а z' | y =? F '| y? F' | z =? z (2x 4z + 2yz? 6).
Зверніть увагу
Запис F '| x означає обчислення приватної похідною функції F по змінної x.