Як обчислити скалярний добуток векторів.

Вектор - це спрямований відрізок, задавши наступними параметрами: довжиною і напрямом (кутом) до заданої осі. Крім цього положення вектора нічим не обмежена. Рівними вважаються ті вектори, які сонаправлени і володіють рівними довжинами.
Вам знадобиться
  • - папір;
  • - ручка.
Інструкція
1
В полярній системі координат їх зображують радіус-векторами точок його кінця (початок знаходиться на початку координат). Вектори прийнято позначати наступним чином (див. Рис.1). Довжина вектора або його модуль позначається | a |. В декартових координатах вектор задається координатами його кінця. Якщо а має деякі координати (x, y, z), то записи виду а (x, y, a) = а = {x, y, z} необхідно вважати рівнозначними. При використанні векторів-ортов координатних осей i, j, k, координати вектора а будуть мати наступний вигляд: а = xi + yj + zk.
2
Скалярним твором векторів a і b називається число (скаляр) рівне добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними (див. Рис. 2): (a, b) = | a || b | cos ?. Скалярний добуток векторів має такі властивості: 1. (A, b) = (b, a); 2. (a + b, c) = (a, c) + (b, c); 3. | A | 2 = (a, a) - скалярний квадрат.Еслі два вектора розташовані під кутом 90 градусів по відношенню один до одного (ортогональні, перпендикулярні), то їх скалярний добуток дорівнює нулю, так як косинус прямого кута дорівнює нулю.
3
Приклад. Необхідно знайти скалярний добуток двох векторів, заданих в декартових коордінатах.Пусть а = {x1, y1, z1}, b = {x2, y2, z2}. Або а = x1i + y1j + z1k, b = x2 i + y2 j + z2k.Тогда (a, b) = (x1i + y1j + z1k, x2 i + y2 j + z2k) = (x1x2) (i, i) + (x1y2) (i, j) + (x1z2) (i, k) + (y1x2) (j, i) + (y1y2) (j, j) + + (y1z2) (j, k) + (z1x2) (i, i) + (z1y2) (i, j) + (z1z2) (i, k).
4
У цьому виразі від нуля відмінні тільки скалярні квадрати, так як різнойменні координатні орти ортогональні. З урахуванням того, що модуль будь-якого вектора-орта (те саме і для i, j, k) - одиниця, маємо (i, i) = (j, j) = (k, k) = 1. Таким чином, від вихідного вираження залишилося (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2.Еслі задати координати векторів деякими числами, то отримаємо наступне: а = {10, -3, 1}, b = {- 2, 5, - 4}, тоді (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2 = -20-15-4 = -39.
Відео по темі
 http://www.youtube.com/watch?v=uIhSbZ4SMyo