Як довести неперервність функції.

Функція називається неперервною, якщо в її відображенні відсутні скачки при малих змінах аргументу між цими точками. Графічно така функція зображується суцільною лінією, без пропусків.
Інструкція
1
Доказ безперервності функції в точці здійснюється за допомогою так званих? -? - Міркувань. ? -? визначення звучить так: нехай x_0 належить безлічі X, тоді функція f (x) неперервна в точці x_0, якщо для будь-якого?> 0 існує таке?> 0, що з | x - x_0 |
2
Приклад 1: доведіть безперервність функції f (x) = x ^ 2 у точці x_0.ДоказательствоПо? -? визначенню існує таке?> 0, що | x ^ 2 - x_0 ^ 2 |
3
Вирішіть квадратне рівняння (x - x_0) ^ 2 + 2 * x_0 * (x - x_0) -? = 0. Знайдіть дискримінант D =? (4 * x_0 ^ 2 + 4 *?) = 2 *? (| X_0 | ^ 2 +?). Тоді корінь дорівнює | x - x_0 | = (-2 * x_0 + 2 *? (| X_0 | ^ 2 +?))/2 =? (| X_0 | ^ 2 +?). Отже, функція f (x) = x ^ 2 неперервна при | x - x_0 | =? (| X_0 | ^ 2 +?) =?.
4
Деякі елементарні функції є безперервними на всій області визначення (безлічі значень X): f (x) = C (константа); всі тригонометричні функції - sin x, cos x, tg x, ctg x та ін.
5
Приклад 2: доведіть безперервність функції f (x) = sin x.ДоказательствоПо визначенням безперервності функції по її нескінченно малому приросту запишіть:? F = sin (x +? X) - sin x.
6
Перетворіть за формулою для тригонометричних функцій:? F = 2 * cos ((x +? X)/2) * sin (? X/2) .Функція cos обмежена при x? 0, а межа функції sin (? X/2) прагне до нуля, отже, вона є нескінченно малою при? X? 0. Твір обмеженою функції і нескінченно малоq величини, а значить і прирощення вихідної функції? F також є нескінченною малою величиною. Отже, функція f (x) = sin x неперервна для будь-якого значення x.