Як знайти повний диференціал функції. Повну диференціал.

Поняття повного диференціала функції вивчається в розділі математичного аналізу поряд з інтегральним обчисленням і передбачає визначення приватних похідних по кожному аргументу вихідної функції.
Інструкція
1
Диференціал (від лат. «Різницю») - це лінійна частина повного приросту функції. Диференціал прийнято позначати df, де f - функція. Функцію одного аргументу іноді зображають dxf або dxF. Припустимо, є функція z = f (x, y), функція двох аргументів x і y. Тоді повний приріст функції матиме вигляд: f (x, y) - f (x_0, y_0) = f'_x (x, y) * (x - x_0) + f'_y (x, y) * (y - y_0 ) +?, де? - Нескінченно мала величина ( 0), яка ігнорується при визначенні похідної, оскільки lim? = 0.
2
Диференціал функції f по аргументу x є лінійною функцією відносно збільшення (x - x_0), тобто df (x_0) = f'_x_0 (? x).
3
Геометричний сенс диференціала функції: якщо функція f диференційовна в точці x_0, то її диференціал в цій точці є прирощення ординати (y) дотичній лінії до графіка функції. Геометричний сенс повного диференціала функції двох аргументів - це тривимірний аналог геометричного сенсу диференціала функції одного аргументу, тобто це прирощення аппликати (z) дотичної площини до поверхні, рівняння якої задано дифференцируемой функцією.
4
Можна записати повний диференціал функції через приросту функції і аргументів, це більш загальноприйнята форма запису:? Z = (? Z/? X) dx + (? Z/? Y) dy, де? Z/? X - похідна функції z по аргументу x,? z/? y - похідна функції z по аргументу y.Говорят, що функція f (x, y) диференційовна в точці (x, y), якщо при таких значеннях x і y можна визначити повний диференціал цієї функціі.Вираженіе (? z/? x) dx + (? z/? y) dy і є лінійна частина приросту вихідної функції, де (? z/? x) dx - диференціал функції z по x, а (? z/? y) dy - диференціал по y. При диференціюванні по одному з аргументів передбачається, що інший аргумент чи аргументи (якщо їх декілька) - постійні величини.
5
Прімер.Найдіте повний диференціал наступної функції: z = 7 * x ^ 2 + 12 * y - 5 * x ^ 2 * y ^ 2.Решеніе.Іспользуя припущення, що y - постійна величина, знайдіть приватну похідну по аргументу x,? z/? x = (7 * x ^ 2 + 12 * y - 5 * x ^ 2 * y ^ 2) 'dx = 7 * 2 * x + 0 - 5 * 2 * x * y ^ 2 = 14 * x - 10 * x * y ^ 2; Використовуючи припущення, що x - постійна величина, знайдіть приватну похідну по аргументу y:? z/? y = (7 * x ^ 2 + 12 * y - 5 * x ^ 2 * y ^ 2) 'dy = 0 + 12 - 5 * 2 * x ^ 2 * y = 12 - 10x ^ 2 * y.
6
Запишіть повний диференціал функції: dz = (? Z/? X) dx + (? Z/? Y) dy = (14 * x - 10 * x * y ^ 2) dx + (12 - 10x ^ 2 * y).
Зверніть увагу
В якійсь точці функції можуть бути визначені приватні похідні по одному з аргументів, але при цьому диференціал може не існувати для сукупності цих значень.