Як знаходити асимптоти.

асимптотой графіка функції у = f (x) називається пряма, графік якої необмежено прибл-жается до графіка функції при необмеженій видаленні довільної точки M (x, y), що належить f (x) на нескінченність (позитивну чи негативну) , ніколи не перетинаючи графік функції. Видалення точки на нескінченність увазі під собою і випадок, коли до нескінченності прагне тільки ордината або абсциса у = f (x). Розрізняють вертикальні, горизонтальні та похилі асимптоти.
Вам знадобиться
  • - папір;
  • - ручка;
  • - лінійка.
Інструкція
1
На практиці вертикальні асимптоти відшукуються зовсім просто. Це точки нулів знаменника функції f (x) .Вертікальная асимптота - це вертикальна пряма. Її рівняння x = a. Тобто при х прагне до a (праворуч або ліворуч), функція прагне до нескінченності (позитивної або негативної).
2
Горизонтальна асимптота - це горизонтальна пряма y = A, до якої графік функції необмежено наближається при прагненні х до нескінченності (позитивної чи негативно) (див. Рис.1), т.е.
3
Похилі асимптоти знаходять трохи більш складно. Визначення їх залишається колишнім, але задаються вони рівнянням прямої лінії y = kx + b. Відстань від асимптоти до графіка функції тут, відповідно до малюнком 1 становить | MP |. Очевидно, що якщо | MP | прагне до нуля, то до нуля прагне і довжина відрізка | MN |. Точка М - ордината асимптоти, N - функції f (x). Абсциса у них спільна. Відстань | MN | = f (xM) - (kxM + b) або просто f (x) - (kx + b), де k - тангенс кута нахилу пряної (асимптоти) до осі абсцис. f (x) - (kx + b) прагне до нуля, тому k можна знайти як межа відносини (f (x) - b)/х, при х прагне до нескінченності (див. рис.2).
4
Після знаходження k, слід визначити b, обчисливши межа різниці f (x) - KХ, при х прагне до нескінченності (див. Рис.3) .Далі вам необхідно побудувати графік асимптоти, також як і прямий y = kx + b.
5
Приклад. Знайти асимптоти графіка функції y = (x ^ 2 + 2x-1)/(x-1) .1. Очевидна вертикальна асимптота x = 1 (як нуль знаменника) .2. y/x = (x ^ 2 + 2x-1)/(x-1) x = (x ^ 2 + 2x-1)/(x ^ 2-x). Тому, обчисливши межа на нескінченності від останньої раціональної дробу, получіттся k = 1. f (x) -kx = (x ^ 2 + 2x-1)/(x-1) - x = (x ^ 2 + 2x-1-x ^ 2 + x)/(x-1) = 3x/( x-1) - 1/(x-1) .Таким чином, ви отримаєте b = 3. . вихідне рівняння похилій асимптоти буде мати вигляд: y = x + 3 (див. рис.4).