Як знайти кут між ребром і гранню.

Перш ніж шукати рішення поставленої задачі, слід визначити з ребром і гранню якої фігури ви маєте справу. Звичайно мова йде про який-небудь многограннике. Будь-яка сторона многогранника - багато угольник , кожен з яких завжди можна розбити на тре угольник і. У загальному випадку буде достатньо розгляду тетраедра. При цьому абсолютно байдуже якої тре угольник знаходиться в основі і яке конкретне розташування заданого ребра. Тому рішення задачі зводиться до пошуку кута між прямою і площиною, що містить дану грань.
Вам знадобиться
  • - папір;
  • - ручка;
  • - лінійка.
Інструкція
1
На малюнку 1 наочно проілюстровано, що необхідно шукати кут між прямою ребра s і її проекцією ф2. Однак для цього довелося б шукати ще й пряму, яка містить цю проекцію. Але завдання можна трохи спростити - знайти кут ф1 між нормаллю до площини грані і спрямовуючим вектором прямої ребра s. Тоді стає очевидно, що ф2 = п/2 - ф1, тобто cosф1 = sinф2.
2
Для чисельного рішення задачі необхідно обчислити скалярний добуток векторів (a, b) ((a, b) = | a || b | cosф). В декартових координатах якщо а = {x1, y1, z1} і b = {x2, y2, z2}, то (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. При цьому скалярний квадрат вектора (а, а) = | a | ^ 2 = x1 ^ 2 + y1 ^ 2 + z1 ^ 2. Для вектора b - аналогічно. Тому | a || b | cos ф = x1х2 + у1y2 + z1z2. Отже, cosф = (x1x2 + y1y2 + z1z2)/(| a || b |).
3
Приклад. Нехай положення ребра описується канонічними рівняннями прямої s: (x-x0)/m = (y-y0)/n = (z-z0)/p, (x0, y0, z0) відома точка прямої (наприклад одна з вершин ребра) , вектор s = {m, n, p} - направляючий вектор s. Нехай площину грані б задана загальним рівнянням площини Ax + Вy + Cz + D = 0. Тоді її нормаль n = {A, B, C} .Для отримання однозначного вирішення завдання буде досить задати вектори n і s. Далі знайдіть cosф1 = (mA + nB + pC)/[(m ^ 2 + n ^ 2 + p ^ 2) (A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2)] ^ (1/2). Враховуючи зазначене вище співвідношення, cosф1 = sinф2, відповідь можна записати у вигляді арксинуса: ф2 = arcsin (cosф1).
4
Якщо s = {3, 2, -1}, n = {2, 0,1}, то косинус кута меду ними cosф1 = (6-1)/[(9 + 4 + 1) (5 +1)] ^ (1/2)] = 5/[(14) 6)] ^ (1/2) = 5/2 (21) ^ (1/2) = 11,45. Відповідь: ф2 = arcsin (11,45).