Як обчислити точки перетину прямих.

Дві прямі, якщо вони непаралельні і не збігаються, обов'язково перетинаються в одній точці. Знайти координати цього місця - значить обчислити точки перетину прямих . Дві пересічні прямі завжди лежать в одній площині, тому досить розглянути їх в декартовій площині. Розберемо на прикладі, як знайти загальну точку прямих .
Інструкція
1
Візьміть рівняння двох прямих , пам'ятаючи про те, що рівняння прямої в декартовій системі координат рівняння прямої виглядає як ах + ву + с = 0, причому а, в, с - звичайні числа, а х і у - координати точок. Для прикладу знайдіть точки перетину прямих 4х + 3у-6 = 0 і 2х + у-4 = 0. Для цього знайдіть рішення системи цих двох рівнянь.
2
Для вирішення системи рівнянь зміните кожне з рівнянь так, щоб перед y стояв однаковий коефіцієнт. Так як в одному рівнянні коефіцієнт перед у дорівнює 1, то просто помножте це рівняння на число 3 (коефіцієнт перед у в іншому рівнянні). Для цього кожен елемент рівняння помножте на 3: (2х * 3) + (у * 3) - (4 * 3) = (0 * 3) і отримаєте звичайне рівняння 6х + 3у-12 = 0. Якби коефіцієнти перед у були відмінні від одиниці в обох рівняннях, множити треба було б обидва рівності.
3
Відніміть з одного рівняння іншого. Для цього відніміть з лівої частини одного ліву частину іншого і точно також поступите з правого. Отримайте такий вираз: (4х + 3у-6) - (6х + 3у-12) = 0-0. Так як перед дужкою стоїть знак «-», все знаки в дужках поміняйте на протилежні. Отримайте такий вислів: 4х + 3у-6 - 6х-3у + 12 = 0. Спростіть вираз і ви побачите, що змінна у зникла. Нове рівняння виглядає так: -2х + 6 = 0. Перенесіть число 6 в іншу частину рівняння, і з отриманого рівності -2х = -6 висловіть х: х = (- 6)/(- 2). Таким чином, ви отримали х = 3.
4
Підставте значення х = 3 в будь-яке рівняння, наприклад, в друге і отримаєте такий вираз: (2 * 3) + у-4 = 0. Спростите і висловіть у: у = 4-6 = -2.
5
Запишіть отримані значення х і у в вигляді координат точки (3; -2). Ці та буде рішення задачі. Перевірте отримане значення методом підстановки в обидва рівняння.
6
Якщо прямі не дані у вигляді рівнянь, а дані просто на площині, знайдіть координати точки перетину графічно. Для цього продовжите прямі так, щоб вони перетнулися, потім опустіть на осі ох і оу перпендикуляри. Перетин перпендикулярів з осями ох і оу, буде координатами цієї точки , подивіться на малюнок і ви побачите, що координати точки перетину х = 3 і у = -2 , тобто точка (3; -2) і є рішення задачі.
Щоб знайти точку перетину прямих, достатньо розглянути їх в площині, де вони розташовані. Далі необхідно скласти рівняння цих прямих і, вирішивши його, ви отримаєте шукані результати.
Інструкція
1
Запам'ятайте, що загальне рівняння прямої в декартових координатах має вигляд Ax + By + C = 0. Якщо прямі перетинаються, то рівняння першою з них можна записати відповідно як Ax + By + C = 0, а другий - у вигляді Dx + Ey + F = 0. Задайте всі наявні коефіцієнти: A, B, C, D, E, F. Для знаходження точки перетину прямих необхідно вирішити систему даних лінійних рівнянь. Зробити це можна кількома способами.
2
Помножте перше рівняння на E, а друге - на B. Після цього рівняння повинні виглядати як: DBx + EBy + FB = 0, AEx + BEy + CE = 0. Далі відніміть друге рівняння з першого, щоб вийшло: (AE-DB) x = FB-CE. Винесіть коефіцієнт: x = (FB-CE)/(AE-DB).
3
Помножте на D перше рівняння даної системи, а друге - на A, після чого потрібно знову відняти друге з першого. В результаті повинно вийти рівняння: y = (CD-FA)/(AE-DB). Знайдіть x і y, і ви отримаєте шукані координати точки перетину прямих.
4
Спробуйте записати рівняння прямих через кутовий коефіцієнт k, який дорівнює тангенсу кута перетину прямих. При цьому у вас вийде рівняння: y = kx + b. Задайте для першої прямої рівність y = k1 * x + b1, а для другої - y = k2 * x + b2.
5
Прирівняти праві частини двох рівнянь, щоб вийшло: k1 * x + b1 = k2 * x + b2. Далі винесіть змінну: x = (b1-b2)/(k2-k1). Підставте значення x в обидва рівняння і отримаєте: y = (k2 * b1-k1 * b2)/(k2-k1). Координати точки перетину задаватимуть значення x і y.
Зверніть увагу
Система володіє тільки одним класичним рішенням, оскільки дві які паралельні і незбіжні прямі мають лише одну точку перетину. Якщо дві прямі збігаються або паралельні, то у них немає спільних точок або ж їх нескінченно багато. В таких випадках k1 = k2, і знаменники у координат точок перетину завжди звертаються в нуль, тому класичного вирішення даної системи не існує.