Як знайти центр вписаного кола.

Окружність може бути вписана в кут або в опуклий багатокутник. У першому випадку вона стосується обох сторін кута, в другому - всіх сторін багатокутника. Положення її центру в обох випадках обчислюється схожими способами. Необхідно провести додаткові геометричні побудови.
Вам знадобиться
  • - багатокутник;
  • - кут заданого розміру;
  • - окружність із заданим радіусом;
  • - циркуль;
  • - лінійка ;
  • - олівець;
  • - калькулятор.
Інструкція
1
Знайти центр вписаною окружності означає визначити його положення щодо вершини окремо взятого кута або кутів багатокутника. Згадайте, де знаходиться центр окружності, вписаною в кут. Він лежить на бісектрисі. Побудуйте кут заданого розміру і розділіть його навпіл. Радіус вписаного окружності ви знаєте. У вписаною окружності він же є і найкоротшим відстанню від центру до дотичній, тобто перпендикуляром. Дотичній в даному випадку є сторона кута. Побудуйте до однієї з сторін перпендикуляр, рівний заданому радіусу. Кінцева його точка повинна знаходитися на бісектрисі. У вас вийшов прямокутний трикутник. Назвіть його, наприклад, ОСА. О - це вершина трикутника і одночасно центр окружності, ОС - радіус, а ОА - відрізок бісектриси. Кут ОАС дорівнює половині вихідного кута. За теоремою синусів знайдіть відрізок ОА, який є гіпотенузою.
2
Для визначення місця розташування центру вписаною окружності в многоугольнике виконайте аналогічні побудови. Сторони будь-якого багатокутника по визначенню є дотичними до вписаною окружності. Відповідно, радіус, проведений до будь-якій точці торкання, буде їй перпендикулярний. В трикутнику центр вписаного окружності є точкою перетину бісектрис, тобто відстань його від кутів визначається точно так само, як і в попередньому випадку.
3
Коло, вписане в багатокутник, одночасно є вписаною і в кожен його кут. Це випливає з її визначення. Відповідно, відстань центру від кожної з вершин можна обчислити точно так же, як і у випадку з окремо взятим кутом. Це особливо важливо пам'ятати, якщо ви маєте справу з неправильним багатокутником. При обчисленнях ромба або квадрата достатньо провести діагоналі. Центр співпаде з точкою їх перетину. Визначити його відстань від вершин квадрата можна по теоремі Піфагора. У випадку з ромбом діє теорема синусів або косинусів, залежно від того, який кут ви використовуєте для обчислень.
Знаючи сторони трикутника, можна знайти радіус вписаного в нього кола. Для цього використовується формула, яка дозволяє знайти радіус, а потім, довжину окружності і площу круга, а також інші параметри.
Інструкція
1
Уявіть собі рівнобедрений трикутник, в який вписане коло невідомого радіуса R. Оскільки окружність є вписаною в трикутник, а не описаної навколо нього, всі сторони цього трикутника є дотичними до неї. Висота, проведена з вершини одного кута перпендикулярно до основи, збігається з медіаною цього трикутника. Вона проходить через радіус вписаного окружності.Следует відзначити, що рівнобедреним називається той трикутник, у якого дві бічні сторони рівні. Кути при підставі цього трикутника повинні бути теж рівні. Такий трикутник, одночасно, можна вписати в коло і описати біля неї.
2
Спочатку знайдіть невідоме підставу трикутника. Для цього, як уже сказано вище, проведіть висоту з вершини трикутника до його основи. Висота перетне центр окружності. Якщо відома хоча б одна зі сторін трикутника, наприклад, сторона CB, то друга сторона їй дорівнює, так як трикутник є рівнобедреним. В даному випадку, це - сторона AC. Третю сторону, яка є підставою трикутника, знайдіть по теоремі Піфагора: c ^ 2 = a ^ 2 + a ^ 2-2a ^ 2 * cosyУгол y між двома рівними сторонами знайдіть виходячи з того, що в трикутник два кути рівні. Відповідно, третій кут дорівнює y = 180- (a + b).
3
Знайшовши всі три сторони трикутника, перейдіть до вирішення завдання. Формула, що зв'язує довжини сторін і радіус, виглядає наступним чином: r = (pa) (pb) (pc)/p, де p = a + b + c/2 - сума всіх сторін, розділених навпіл, або полуперіметр.Еслі в окружність вписаний рівнобедрений трикутник, то в такому випадку набагато легше знаходити радіус кола. При знанні радіуса окружності, можна знайти такі важливі параметри, як площа круга і довжина кола. Якщо в завданні, навпаки, дан радіус кола - це є, в свою чергу, передумовою до знаходження сторін трикутника. Знайшовши боку трикутника, можна обчислити його площу і периметр. Ці обчислення широко застосовуються в багатьох інженерних задачах. Планиметрия - це базова наука, за допомогою якої вивчають складніші геометричні обчислення.