Як знайти дисперсію випадкової величини.

Дисперсія характеризує в середньому ступінь розкиду значень СВ щодо її середнього значення, тобто показує наскільки щільно згруповані значення Х навколо mх. Якщо СВ володіє розмірністю (може бути виражена в будь-яких одиницях), то розмірність дисперсії дорівнює квадрату розмірності СВ.
Вам знадобиться
  • - папір;
  • - ручка.
Інструкція
1
Для розгляду даного питання необхідно ввести деякі позначення. Піднесення до степеня буде позначено через символ «^», корінь квадратний - «sqrt», а позначення, які стосуються інтегралів, наведені на рис.1.
2
Нехай відомо середнє значення (математичне очікування) mx випадкової величини (СВ) Х. слід нагадати, що операторний позначення математичного очікування mх = М {X} = M [X], при цьому для нього справедливо властивість M {aX} = aM {X}. Математичне сподівання константи є сама ця константа (М {a} = a). Крім того, необхідно ввести поняття центрованої СВ. Хц = Х-mx. Очевидно, M {XЦ} = M {X} -mx = 0
3
Дисперсией СВ (D х) називають математичне сподівання квадрата центрованої СВ. D х = int ((x-mx) ^ 2) W (x) dx). При цьому W (x) - щільність ймовірності СВ. Для дискретних СВ D х = (1/n) ((x- mx) ^ 2 + (x2- mx) ^ 2 + ... + (xn- mx) ^ 2). Для дисперсії, як і для математичного очікування, передбачена операторна запис D х = D [X] (або D {X}).
4
З визначення дисперсії випливає, що аналогічним чином її можна знайти за такою формулою: Dx = M {(X- mx) ^ 2} = D {X} = М {Xц ^ 2} .На практиці як приклад характеристики розсіювання частіше користуються середнім квадратом відхилення СВ (СКО - середньоквадратичне відхилення). бх = sqrt (Dx), при цьому розмірність Х і СКО збігаються [X] = [бх].
5
Властивості дісперсіі.1. D [a] = 0. Дійсно, D [a] = M [(aa) ^ 2] = 0 (фізичний зміст - у постійній величини немає розкиду) .2. D [aX] = (a ^ 2) D [X], так як М {(aX-M [aX]) ^ 2} = M {(aX - (amx)) ^ 2} = (a ^ 2) M {(X - mx) ^ 2} = (a ^ 2) D {X} .3. Dx = M {X ^ 2} - (mx ^ 2), т.к. M {(X - mх) ^ 2} = M {X ^ 2 - 2Xmx + mx ^ 2} = M {X2} - 2M {X} mx + mx2 == M {X ^ 2} - 2mx ^ 2 + mx ^ 2 = M {X ^ 2} - mx ^ 2.4. Якщо СВ X і Y незалежні, то M {XY} = M {X} M {Y} .5. D {X + Y} = D {X-Y} = D {X} + D {Y}. Дійсно, враховуючи що Х і Y незалежні, незалежними є і Хц і Yц. Тоді, наприклад, D{X-Y}=M{((X-Y)-M[X-Y])^2}=M{((X-mx)+(Y-my))^2}=M{Xц^2}+M{Yц^2}-М{Xц^2}M{Yц^2}=DxDy.
6
Приклад. Дана щільність ймовірності випадкового напруги Х (см рис.2). Знайти її дисперсію і СКО.Решеніе. За умовою нормировки щільності ймовірності, площа під графіком W (x) дорівнює 1. Так як це трикутник, то (1/2) 4W (4) = 1. Тоді W (4) = 0,5 1/B. Звідси W (x) = (1/8) x. mx = int (0 - 4) (x (x/8) dx == (x ^ 3)/24 | (0 - 4) = 8/3. При обчисленні дисперсії найзручніше використовувати її 3-е властивість: Dx = M {X ^ 2} - (mx ^ 2) = int (0 - 4) ((x ^ 2) (x | 8) dx - 64 | 9 = (x ^ 4)/32) | (0 - 4) -64/9 = 8-64/9 = 8/9.