Як розрахувати похідну.

Похідна певної функції розраховується методом диференціального числення. Похідна в даній точці показує швидкість зміни функції і дорівнює межі приросту функції до приросту аргументу.
Інструкція
1
Похідна функції - центральне поняття теорії диференціального числення. Визначення похідної через відношення межі приросту функції до приросту аргументу є найпоширенішим. Похідні можуть бути першого, другого і вищих порядків. Прийнято позначення похідної у вигляді знака апострофа, наприклад, F '(x). Друга похідна позначається F '' (x). Похідна n-го порядку - F ^ (n) (x), при цьому n - ціле число більше 0. Це метод позначення Лагранжа.
2
Похідна від функції декількох аргументів, отримана по одному з них, називається приватної похідною і є одним з елементів диференціала функції. Сума похідних одного порядку по всіх аргументів вихідної функції є її повним диференціалом цього порядку.
3
Розглянемо розрахунок похідної на прикладі диференціювання простої функції f (x) = x ^ 2. За визначенням: f '(x) = lim ((f (x) - f (x_0))/(x - x_0)) = lim ((x ^ 2 - x_0 ^ 2)/(x - x_0)) = lim ((x - x_0) * (x + x_0)/(x - x_0)) = lim (x + x_0) .При тому, що x -> x_0 маємо: f '(x) = 2 * x_0.
4
Для полегшення знаходження похідної існують правила диференціювання, що дозволяють прискорити час розрахунку. Основні правила такі: • C '= 0, де C - константа; • x' = 1; • (f + g) '- f' + g '; • (f * g)' = f '* g + f * g '; • (C * f)' = C * f '; • (f/g)' = (f '* g - f * g')/g ^ 2.
5
Для знаходження похідної n-го порядку використовується формула Лейбніца: (f * g) ^ (n) =? C (n) ^ k * f ^ (nk) * g ^ k, де C (n) ^ k - біноміальні коефіцієнти.
6
Похідні деяких найпростіших і тригонометричних функцій: • (x ^ a) '= a * x ^ (a-1); • (a ^ x)' = a ^ x * ln (a); • (sin x) '= cos x; • (cos x)' = - sin x; • (tg x) '= 1/cos ^ 2 x; • (ctg x)' = - 1/sin ^ 2 x.
7
Розрахунок похідної складної функції (композиції двох або більше функцій): f '(g (x)) = f'_g * g'_x.Ета формула дійсна тільки в разі, якщо функція g дифференцируема в точці x_0, а функція f має похідну в точці g (x_0).