Як обчислити межа послідовності.

Якщо змінна, послідовність або функція має нескінченну кількість значень, які змінюються по деякому закону, вона може прагнути до про пределенія числу, яке і є межею послідовності. Обчислювати межі можна різними способами.
Вам знадобиться
  • - поняття числової послідовності і функції;
  • - вміння брати похідні;
  • - вміння перетворювати і скорочувати вираження;
  • - калькулятор.
Інструкція
1
Щоб обчислити межа, підставте в його вираз граничне значення аргументу. Спробуйте провести обчислення. Якщо це можливо, то значення виразу з підставленим значенням і є шукане число. Приклад: Знайдіть значення межі послідовності із загальним членом (3 • x? -2)/(2 • x? +7), Якщо x> 3. Проведіть підстановку межі в вираз послідовності (3 • 3? -2)/(2 • 3? +7) = (27-2)/(18 + 7) = 1.
2
Якщо при спробі підстановки є невизначеність, виберіть спосіб, яким її можна усунути. Це можна зробити, перетворивши вирази, в яких записується послідовність. Зробивши скорочення, отримаєте результат. Приклад: Послідовність (x + vx)/(x-vx), коли x> 0. При прямій підстановці виходить невизначеність 0/0. Позбавтеся від неї, винісши з чисельника і знаменника загальний множник. В даному випадку це буде vx. Отримайте (vx • (vx + 1))/(vx • (vx-1)) = (vx + 1)/(vx-1). Тепер поле підстановки отримаєте 1/(- 1) = - 1.
3
Коли при невизначеності дріб неможливо скоротити (особливо, якщо послідовність містить ірраціональні вирази) помножте її чисельник і знаменник на відмінюванні вираз, для того, щоб прибрати ірраціональність з знаменника. Приклад: Послідовність x/(v (x + 1) -1). Значення змінної x> 0. Помножте чисельник і знаменник на відмінюванні вираз (v (x + 1) +1). Отримайте (x • (v (x + 1) +1))/((v (x + 1) -1) • (v (x + 1) +1)) = (x • (v (x + 1) +1))/(x + 1-1) = (x • (v (x + 1) +1))/x = v (x + 1) +1. Зробивши підстановку, отримаєте = v (0 + 1) + 1 = 1 + 1 = 2.
4
При невизначеності типу 0/0 або?/? використовуйте правило Лопіталя. Для цього чисельник і знаменник послідовності уявіть як функції, візьміть з них похідні. Межа їх відносин буде дорівнює межі відносин самих функцій. Приклад: Знайти межа послідовності ln (x)/vx, при x>?. Пряма підстановка дає невизначеність?/?. Візьміть похідні з чисельника і знаменника і отримаєте (1/x)/(1/2 • vx) = 2/vx = 0.
5
Для розкриття невизначеностей користуйтеся першим чудовим межею sin (x)/x = 1 при x> 0, або другим чудовим межею (1 + 1/x) ^ x = exp при x> ?. Приклад: Знайти межа послідовності sin (5 • x)/(3 • x) при x> 0. Перетворіть вираз sin (5 • x)/(3/5 • 5 • x) винесіть множник з знаменника 5/3 • (sin (5 • x)/(5 • x)) використовуючи перший чудовий межа отримаєте 5/3 • 1 = 5/3.
6
Приклад: Знайти межа (1 + 1/(5 • x)) ^ (6 • x) при x> ?. Помножте і поділіть показник ступеня на 5 • x. Отримайте вираз ((1 + 1/(5 • x)) ^ (5 • x)) ^ (6 • x)/(5 • x). Застосувавши правило другого чудового межі, отримаєте exp ^ (6 • x)/(5 • x) = exp.
Теорія меж - досить велика область математичного аналізу. Це поняття застосовне до функції і являє собою конструкцію з трьох елементів: позначення lim, вираз під знаком межі і граничне значення аргументу.
Інструкція
1
Щоб обчислити межа, необхідно визначити, чому дорівнює функція в точці, що відповідає граничному значенню аргументу. У деяких випадках задача не має кінцевого рішення, а підстановка значення, до якого прагне змінна, дає невизначеність виду «нуль на нуль» або «нескінченність на нескінченність». У цьому випадку можна застосувати правило, виведене Бернуллі і Лопиталем, яке передбачає взяття першої похідної.
2
Як і будь-яке інше математичне поняття, межа може містити під своїм знаком вираз функції, занадто громіздке або незручне для простої підстановки. Тоді необхідно перш спростити його, користуючись звичайними методами, наприклад, угруповання, винесення спільного множника і заміна змінної, при якій змінюється і граничне значення аргументу.
3
Розгляньте приклад, щоб зробити теорію більш наочною. Знайдіть межа функції (2 • x? - 3 • x - 5)/(x + 1) при х, що прямує до 1. Зробіть просту підстановку: (2 • 1? - 3 • 1 - 5)/(1 + 1) = -6/2 = -3.
4
Вам пощастило, вираз функції має сенс при даному граничному значенні аргументу. Це найпростіший випадок обчислення границі. Тепер вирішите наступне завдання, в якій фігурує неоднозначне поняття нескінченності: lim_ (x ) (5 - x).
5
У цьому прикладі x прямує до нескінченності, тобто постійно зростає. У виразі змінна фігурує зі знаком мінус, отже, чим більше значення змінної, тим більше убуває функція. Тому межа в цьому випадку дорівнює - ?.
6
Правило Бернуллі-Лопіталя: lim_ (x? -2) (X ^ 5 - 4 • x?)/(X? + 2 • х?) = (-32 + 32)/(- 8 + 8 ) = [0/0] .Продіфференціруйте вираз функції: lim (5 • x ^ 4 - 12 • x?)/(3 • x? + 4 • x) = (5 • 16 - 12 • 4)/(3 • 4 - 8) = 8.
7
Заміна змінної: lim_ (x? 125) (x + 2 •? X)/(x + 5) = [y =? X] = lim_ (y? 5) (y? + 2 • y)/(y? + 3) = (125 + 10)/(125 + 5) = 27/26.