Що таке тригонометричні тотожності.

Тригонометрия - розділ математики для вивчення функцій, що виражають різні залежності сторін прямокутного трикутника від величин гострих кутів при гіпотенузі. Такі функції отримали називання тригонометричних, а для спрощення роботи з ними були виведені тригонометричні тотожності .
Поняття тотожності в математиці означає рівність, яке виконується при будь-яких значеннях аргументів входять до нього функцій. Тригонометричні тотожності - це рівності тригонометричних функцій, доведені і прийняті для полегшення роботи з тригонометричними формуламі.Трігонометріческая функція - це елементарна функція залежності одного з катетів прямокутного трикутника від величини гострого кута при гіпотенузі. Найчастіше використовуються шість основних тригонометричних функцій: sin (синус), cos (косинус), tg (тангенс), ctg (котангенс), sec (секанс) і cosec (косеканс). Ці функції називаються прямими, існують також зворотні функції, наприклад, синус - арксинус, косинус - арккосинус і т.д.Ізначально тригонометричні функції знайшли відображення в геометрії, потім поширилися в інші області науки: фізику, хімію, географію, оптику, теорію ймовірностей, а також акустику, теорію музики, фонетику, комп'ютерну графіку і багато інших. Тепер уже важко уявити собі математичні розрахунки без цих функцій, хоча в далекому минулому вони застосовувалися тільки в астрономії та архітектуре.Трігонометріческіе тотожності застосовуються для полегшення роботи з довгими тригонометричними формулами і приведення їх до легкотравне увазі. Основних тригонометричних тотожностей шість, вони пов'язані з прямими тригонометричними функціями: • tg? = Sin?/Cos?; • sin ^ 2? + Cos ^ 2? = 1; • 1 + tg ^ 2? = 1/cos ^ 2?; • 1 + 1/tg ^ 2? = 1/sin ^ 2?; • sin (?/2 -?) = Cos?; • cos (?/2 -?) = Sin? .Ці тотожності легко довести з властивостей співвідношення сторін і кутів у прямокутному трикутнику: sin? = BC/AC = b/c; cos? = AB/AC = a/c; tg? = B/a.Первое тотожність tg? = Sin?/Cos? випливає з співвідношення сторін у трикутнику і виключенням боку c (гіпотенузи) при діленні sin на cos. Таким же чином визначається тотожність ctg? = Cos?/Sin?, Оскільки ctg? = 1/tg? .По Теоремі Піфагора a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Розділимо це рівність на c ^ 2, отримаємо друге тотожність: a ^ 2/c ^ 2 + b ^ 2/c ^ 2 = 1 => sin ^ 2? + Cos ^ 2? = 1.Третье і четверте тотожності отримує шляхом поділу, відповідно, на b ^ 2 і a ^ 2: a ^ 2/b ^ 2 + 1 = c ^ 2/b ^ 2 => tg ^ 2? + 1 = 1/cos ^ 2?; 1 + b ^ 2/a ^ 2 = c ^ 2/a ^ 2 => 1 + 1/tg ^ 2? = 1/sin ^? або 1 + ctg ^ 2? = 1/sin ^ 2? .П'ять І шосте основні тотожності доводяться через визначення суми гострих кутів прямокутного трикутника, яка дорівнює 90 ° або?/2.Более Складні тригонометричні тотожності : формули додавання аргументів, подвійного і потрійного кута, зниження ступеня, перетворення суми або добутку функцій, а також формули тригонометричної підстановки, а саме вираження основних тригонометричних функцій через tg половинного кута: sin? = (2 * tg?/2)/(1 + tg ^ 2?/2); cos? = (1 - tg ^ 2?/2)/(1 = tg ^ 2?/2); tg? = (2 * tg?/2)/(1 - tg ^ 2?/2).