Як знайти градієнт.

При розгляді питань, що включають поняття градієнта, найчастіше функції сприймають як скалярні поля. Тому необхідно ввести відповідні позначення.
Вам знадобиться
  • - пап;
  • - ручка.
Інструкція
1
Нехай функція задається трьома аргументами u = f (x, y, z). Приватну похідну функції, на приклад по х, визначають як похідну по цьому аргументу, отриману при фіксуванні інших аргументів. Для решти аргументів аналогічно. Позначення приватної похідною записується у вигляді: Дf/дх = u'x ...
2
Повний диференціал буде дорівнює du = (Дf/дх) dx + (Дf/дy) dy + (Дf/дz) dz.Частние похідні можна розуміти, як похідні за напрямками координатних осей. Тому виникає питання про знаходження похідної по напрямку заданого вектора s в точці M (x, y, z) (не забувайте, що напрямок s задає одиничний вектор-орт s ^ o). При цьому вектор-диференціал аргументів {dx, dy, dz} = {дscos (альфа), дsсоs (бета), дsсоs (гамма)}.
3
Враховуючи вид пального диференціала du, можна зробити висновок, що похідна за напрямком під-нию s в точці М дорівнює: (дu/ДS) | M = ((Дf/дх) | M) соs (альфа) + ( (Дf/дy) | M) соs (бета) + ((Дf/дz) | M) соs (гамма) .Якщо s = s (sx, sy, sz), то напрямні косинуси {соs (альфа), соs ( бета), соs (гамма)} обчислюються (див. рис.1).
4
Визначення похідної по напрямку, вважаючи точку М змінної, можна переписати у вигляді скалярного твори: (дu/ДS) = ({Дf/дх, Дf/дy, Дf/дz}, {соs (альфа), соs (бета), соs (гамма)}) = (grad u, s ^ o). Цей вираз буде справедливо для скалярного поля. Якщо розглядається просто функ-ція, то gradf - це вектор, який має координати, що збігаються з приватними похідними f (x, y, z) .gradf (x, y, z) = {{Дf/дх, Дf/дy, Дf/дz} =) = (Дf/дх) i + (Дf/дy) j + (Дf/дz) k. Тут (i, j, k) - орти координатних осей у прямокутній декартовій системі координат.
5
Якщо використовувати диференційний вектор-оператор Гамільтона Набла, то gradf можна записати, як множення цього вектора-оператора на скаляр f (див. Рис. 1б). З точки зору зв'язку gradf c похідною за напрямком, рівність (gradf, s ^ o) = 0 можливо, якщо ці вектори ортогональні. Тому gradf часто визначають, як напрямок якнайшвидшого зміни скалярного поля. А з точки зору диференціальних операцій (gradf - одна з них), властивості gradf в точності повторюють властивості диференціювання функцій. Зокрема, якщо f = uv, то gradf = (vgradu + u gradv).
Градієнт функції - векторна величина, знаходження якої пов'язане з визначенням приватних похідних функції. Напрямок градієнта вказує шлях якнайшвидшого зростання функції від однієї точки скалярного поля до іншої.
Інструкція
1
Для вирішення завдання на градієнт функції використовуються методи диференціального числення, а саме знаходження приватних похідних першого порядку за трьома змінним. При цьому передбачається, що сама функція і всі її приватні похідні мають властивість безперервності в області визначення функції.
2
Градієнт - це вектор, напрям якого вказує напрямок максимально швидкого зростання функції F. Для цього на графіку обираються дві точки M0 і M1, які є кінцями вектора. Величина градієнта дорівнює швидкості зростання функції від точки M0 до точки M1.
3
Функція дифференцируема у всіх точках цього вектора, отже, проекціями вектора на координатних осях є всі її приватні похідні. Тоді формула градієнта виглядає наступним чином: grad = (? F/? Х) • i + (? F/? Y) • j + (? F/? Z) • k, де i, j, k - координати одиничного вектора. Іншими словами, градієнт функції - це вектор, координатами якого є її приватні похідні grad F = (? F/? Х,? F/? Y,? F/? Z).
4
Прімер1.Пусть задана функція F = sin (х • z?)/Y. Потрібно знайти її грaдіент в точці (?/6, 1/4, 1).
5
Решеніе.Определіте приватні похідні по кожній змінної: F'_х = 1/y • соs (х • z?) • z?; F'_y = sin (х • z?) • (-1) • 1/(y?); F'_z = 1/y • соs (х • z?) • 2 • х • z.
6
Підставте відомі значення координат точки: F'_x = 4 • соs (?/6) = 2 •? 3; F'_y = sin (?/6) • (-1) • 16 = -8; F'_z = 4 • соs (?/6) • 2 •?/6 = 2 •?/? 3.
7
Застосуйте формулу градієнта функції: grаd F = 2 •? 3 • i - 8 • j + 2 •?/? 3 • k.
8
Прімер2.Найдіте координати градієнта функції F = y • arсtg (z/x) в точці (1, 2, 1).
9
Решеніе.F'_х = 0 • аrсtg (z/х) + y • (аrсtg (z/х)) '_ х = y • 1/(1 + (z/х)?) • (- z/х?) = -y • z/(х? • (1 + (z/х)?)) = -1; F'_y = 1 • аrсtg (z/х) = аrсtg 1 =?/4; F'_z = 0 • аrсtg (z/х) + y • (аrсtg (z/х)) '_ z = y • 1/(1 + (z/х)?) • 1/х = y/(х • (1 + (z/х)?)) = 1.grаd = (-1,?/4, 1).
Відео по темі
 http://www.youtube.com/watch?v=JB1yBuSiMOM