Як знайти направляючі косинуси.

Математика - наука складна і точна. Підхід до неї потрібен грамотний і не терпить поспіху. Природно, без абстрактного мислення тут не обійтися. Як і без ручки з папером для візуального спрощення розрахунків.
Інструкція
1
Відзначте кути за допомогою літер гамма, бета і альфа, які утворені вектором B з напрямком в позитивну сторону осі координат. Косинуси даних кутів слід називати напрямними косинусами вектора B.
2
У прямокутній декартовій системі координат координати B рівні проекціям вектора на осі координат. Таким чином, B1 = | B | cos (альфа), B2 = | B | cos (бета), B3 = | B | cos (гамма). Звідси випливає, що: cos (альфа) = B1 || B |, cos (бета) = B2 || B |, cos (гамма) = B3/| B |, де | B | = sqrt (B1 ^ 2 + B2 ^ 2 + B3 ^ 2). А це означає, чтоcos (альфа) = B1 | sqrt (B1 ^ 2 + B2 ^ 2 + B3 ^ 2), cos (бета) = B2 | sqrt (B1 ^ 2 + B2 ^ 2 + B3 ^ 2), cos ( гамма) = B3/sqrt (B1 ^ 2 + B2 ^ 2 + B3 ^ 2).
3
Тепер потрібно виділити основну властивість напрямних. Сума квадратів напрямних косинусів вектора завжди буде дорівнює едініце.Правда, що cos ^ 2 (альфа) + cos ^ 2 (бета) + cos ^ 2 (гамма) = B1 ^ 2 | (B1 ^ 2 + B2 ^ 2 + B3 ^ 2 ) + B2 ^ 2 | (B1 ^ 2 + B2 ^ 2 + B3 ^ 2) + B3 ^ 2/(B1 ^ 2 + B2 ^ 2 + B3 ^ 2) = (B1 ^ 2 + B2 ^ 2 + B3 ^ 2 ) | (B1 ^ 2 + B2 ^ 2 + B3 ^ 2) = 1.
4
Наприклад, дано: вектор B = {1, 3, 5). Необхідно знайти його напрямні косінуси.Решеніе завдання буде наступним: | B | = sqrt (Bx ^ 2 + By ^ 2 + Bz ^ 2) = sqrt (1 + 9 + 25) = sqrt (35) = 5,91.Ответ можна записати в такому вигляді: {cos (альфа), cos (бета), cos (гамма)} = {1/sqrt (35), 3/sqrt (35), 5/(35)} = {0,16; 0 , 5; 0,84}.
5
Ще один спосіб знаходження. Коли ви намагаєтеся знайти направляючі косинусів вектора B, скористайтеся методикою скалярного твори. Нам потрібні кути між вектором B і направляючими векторами декартових координат z, x і c. Їх координати {1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1} .Тепер дізнайтеся скалярний добуток векторів: до оли кут між векторами D, то добуток двох векторів- це число, рівне добутку модулів векторів на cos D. (B, b) = | B || b | cos D. Якщо b = z, то (B, z) = | B || z | cos (альфа) або B1 = | B | cos ( альфа). Далі всі дії виконуються аналогічно способу 1, з урахуванням координат x і c.
Позначте через альфа, бета і гамма кути, утворені вектором а з позитивним напрямком координатних осей (див. Рис.1). Косинуси цих кутів називаються напрямними косинусами вектора а.
Вам знадобиться
  • - папір;
  • - ручка.
Інструкція
1
Так як координати а в декартовій прямокутній системі координат дорівнюють проекціям вектора на координатні осі, тоа1 = | a | cos (альфа), a2 = | a | cos (бета), a3 = | a | cos (гамма). Звідси: cos (альфа) = a1 || a |, cos (бета) = a2 || a |, cos (гамма) = a3/| a |. При цьому | a | = sqrt (a1 ^ 2 + a2 ^ 2 + a3 ^ 2). Значить cos (альфа) = a1 | sqrt (a1 ^ 2 + a2 ^ 2 + a3 ^ 2), cos (бета) = a2 | sqrt (a1 ^ 2 + a2 ^ 2 + a3 ^ 2), cos (гамма) = a3/sqrt (a1 ^ 2 + a2 ^ 2 + a3 ^ 2).
2
Слід зазначити основну властивість напрямних косинусів. Сума квадратів напрямних косинусів вектора дорівнює едініце.Действітельно, cos ^ 2 (альфа) + cos ^ 2 (бета) + cos ^ 2 (гамма) == a1 ^ 2 | (a1 ^ 2 + a2 ^ 2+ a3 ^ 2) + a2 ^ 2 | (a1 ^ 2 + a2 ^ 2 + a3 ^ 2) + a3 ^ 2/(a1 ^ 2 + a2 ^ 2 + a3 ^ 2) = = (a1 ^ 2 + a2 ^ 2 + a3 ^ 2) | (a1 ^ 2 + a2 ^ 2 + a3 ^ 2) = 1.
3
Перший способПрімер: дано: вектор а = {1, 3, 5). Знайти його напрямні косінуси.Решеніе. Відповідно до знайденим випишемо: | а | = sqrt (ax ^ 2 + ay ^ 2 + az ^ 2) = sqrt (1 + 9 + 25) = sqrt (35) = 5,91. Таким чином, відповідь можна записати в такій формі: {cos (альфа), cos (бета), cos (гамма)} = {1/sqrt (35), 3/sqrt (35), 5/(35)} = { 0,16; 0,5; 0,84}.
4
Другий способПрі знаходженні напрямних косинусів вектора а, можна використовувати методику визначення косинусів кутів за допомогою скалярного твори. В даному випадку на увазі маються кути між а і направляючими одиничними вектора ми прямокутних декартових координат i, j і k. Їх координати {1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}, відповідно. Слід нагадати, що скалярний добуток векторів визначається так. Якщо кут між вектора ми ф, то скалярний добуток двох вітрів (за визначенням) - це число, що дорівнює добутку модулів векторів на cosф. (A, b) = | a || b | cos ф. Тоді, якщо b = i, то (a, i) = | a || i | cos (альфа), або a1 = | a | cos (альфа). Далі всі дії виконуються аналогічно способу 1, з урахуванням координат j і k.