Як скласти рівняння площини.

Площина є одним з основних понять, що пов'язують планиметрию і стереометрию (розділи геометрії). Ця фігура також часто зустрічається в задачах з аналітичної геометрії. Щоб скласти рівняння площини, достатньо мати координати трьох її точок. Для другого основного способу складання рівняння площині необхідно вказати координати однієї точки і напрямок нормального вектора.
Вам знадобиться
  • - калькулятор.
Інструкція
1
Якщо відомі координати трьох точок, через які проходить площину, то запишіть рівняння площини у вигляді визначника третього порядку. Нехай (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) і (z1, z2, z3) - координати першої, другої і третьої точки відповідно. Тоді рівняння площини, що проходить через ці три точки, виглядає наступним чином :? x-x1 y-y1 z-z1 x2-x1 y2-y1 z2-z1? = 0? X3-x1 y3-y1 z3-z1?
2
Приклад: скласти рівняння площини, що проходить через три точки з координатами: (-1; 4; -1), (-13; 2; -10), (6; 0; 12). Рішення: підставляючи координати точок в вищенаведену формулу, отримаємо:? X + 1 y-4 z + 1 - 12 -2 -9? = 0? 7 -4 13? В принципі, це і є рівняння шуканої площини. Однак якщо розкласти визначник по першому рядку, то вийде більш простий вислів: -62 * (х + 1) + 93 * (у-4) + 62 * (z + 1) = 0.Разделів обидві частини рівняння на 31 і привівши подібні , отримаємо: -2х + 3у + 2z-12 = 0.Ответ: рівняння площини, що проходить через точки з координатами (-1; 4; -1), (-13; 2; -10) і (6; 0; 12 ) -2х + 3у + 2z-12 = 0.
3
Якщо рівняння площини, що проходить через три точки, потрібно скласти без використання поняття «визначник» (молодші класи, тема - системи лінійних рівнянь), то скористайтеся наступним рассужденіем.Уравненіе площині в загальному вигляді має вигляд Ах + ВуСz + D = 0, причому одній площині відповідає безліч рівнянь з пропорційними коефіцієнтами. Для простоти обчислень параметр D зазвичай приймають рівним 1, якщо площину не проходить через початок координат (для площини, що проходить через початок координат, D = 0).
4
Так як координати точок, що належать площині, повинні задовольняти вищенаведеного рівняння, то в підсумку виходить система з трьох лінійних рівнянь: -A + 4B-C + 1 = 0-13A + 2B-10C + 1 = 06A + 12C + 1 = 0, вирішивши яку і позбувшись дробів, отримаємо вищенаведене рівняння (-2х + 3у + 2z-12 = 0).
5
Якщо задані координати однієї точки (х0, у0, z0) і координати вектора нормалі (А, В, С), то щоб скласти рівняння площини, просто запишіть рівняння: А (х-х0) + В (у- у0) + С (z-z0) = 0. Після приведення подібних це і буде рівнянням площини.
6
Якщо потрібно вирішити задачу складання рівняння площини, що проходить через три точки, в загальному вигляді, то розкладіть рівняння площині, записаної через визначник, по першому рядку: (x-x1) * (у2-y1) * (z3- z1) - (x-x1) * (z2-z1) * (y3-y1) - (y-y1) * (x2-x1) * (z3-z1) + (y-y1) * (z2-z1) * (x3-x1) + (z-z1) * (x2-x1) * (y3-y1) - (z-z1) * (y2-y1) * (x3-x1) = 0.Хотя цей вираз і більш громіздке, зате в ньому не використовується поняття визначника і воно більш зручно для складання програм.