Як знайти нормаль площині.

Нормаль площині n (вектор нормалі до площини) - це будь-який спрямований перпендикуляр до неї (ортогональний вектор). Подальші викладки по визначенні нормалі залежать від способу завдання площині.
Інструкція
1
Якщо задано загальне рівняння площини - AX + BY + CZ + D = 0 або його форма A (x-x0) + B (y-y0) + C (z-z0) = 0, то можна відразу записати відповідь - n (А, В, С). Справа в тому, що це рівняння було отримано, як задача визначення рівняння площини по нормалі і точці.
2
Для отримання загальної відповіді, вам знадобиться векторний добуток векторів через те, що останнє завжди перпендикулярно вихідним векторам. Отже, векторним твором векторів, є деякий вектор, модуль якого дорівнює добутку модуля першого (а) на модуль другого (b) і на синус кута між ними. При цьому цей вектор (позначте його через n) ортогонален a і b - це головне. Трійка цих векторів правая, тобто з кінця n найкоротший поворот від a до b скоюється проти годинникової стрілки. [A, b] - одне із загальноприйнятих позначень векторного твори. Для обчислення векторного твори в координатної формі, використовується вектор-визначник (див. Рис.1)
3
Для того щоб не плутатися зі знаком «-», перепишіть результат у вигляді: n = {nx, ny, nz} = i (aybz-azby) + j (azbx-axbz) + k (axby-aybx ), і в координатах: {nx, ny, nz} = {(aybz-azby), (azbx-axbz), (axby-aybx)}. Більш того, щоб не плутатися з чисельними прикладами випишете всі отримані значення окремо: nx = aybz-azby, ny = azbx-axbz, nz = axby-aybx.
4
Поверніться до вирішення поставленого завдання. Площину можна задати різними способами. Нехай нормаль до площини визначається двома неколінеарна векторами, причому відразу чисельно. Нехай дано вектори a (2, 4, 5) і b (3, 2, 6). Нормаль до площини збігається з їх векторним твором і, як тільки що було з'ясовано дорівнюватиме n (nx, ny, nz), nx = aybz-azby, ny = azbx-axbz, nz = axby-aybx. В даному випадку ax = 2, ay = 4, az = 5, bx = 3, by = 2, bz = 6. Таким чином, nx = 24-10 = 14, ny = 12-15 = -3, nz = 4-8 = -4. Нормаль знайдена - n (14, -3, -4). При цьому вона є нормаллю до цілого сімейства площин.
Під математичним терміном нормаль ховається більш звичне на слух поняття перпендикуляра. Тобто завдання знаходження нормалі увазі пошук рівняння прямої, перпендикулярної до заданої кривої або поверхні, що проходить через певну точку. Залежно від того, на площині або в просторі потрібно знайти нормаль , дана задача вирішується по-різному. Розглянемо обидва варіанти завдання.
Вам знадобиться
  • вміння знаходити похідні функції, уміння знаходити приватні похідні функції декількох змінних
Інструкція
1
Нормаль до кривої, заданої на площині у вигляді рівняння у = f (x) .Находім значення функції, яка визначає рівняння даної кривої в точці, в якій шукається рівняння нормалі: а = f (x0). Знаходимо похідну до даної функції: f '(x). Шукаємо значення похідної в цій же точці: B = f '(x0). Обчислюємо значення наступного виразу: C = a - B * x0. Складаємо рівняння нормалі, яке матиме вигляд: у = B * x + C.
2
Нормаль до поверхні або кривої, заданої в просторі у вигляді рівняння f = f (x, y, z) .Находім приватні похідні до даної нам функції: f'x (x, y, z), f'y (x, y, z), f'z (x, y, z). Шукаємо значення цих похідних в точці М (x0, y0, z0) - точка, в якій треба знайти рівняння нормалі до поверхні або просторової кривої: A = f'x (x0, y0, z0), B = f'y (x0, y0, z0), C = f'z (x0, y0, z0). Складаємо рівняння нормалі, яке матиме вигляд: (x - x0)/A = (y - y0)/B = (z - z0)/C
3
Приклад: Знайдемо рівняння нормалі до функції у = х - х ^ 2 в точці х = 1.Значение функції в даній точці а = 1 - 1 = 0.Проізводная до функції у '= 1 - 2х, в даній точці В = у '(1) = -1.Вичісляем С = 0 - (-1) * 1 = 1.Іскомое рівняння нормалі має вигляд: у = -х + 1
Корисна порада
Приватні похідні будь-якої функції нескладно знайти, уявивши, що всі змінні, крім тієї яка є досліджуваної - константи.