Як зробити згортку.

Поняття згортки відноситься до операційного обчисленню. Для того щоб детально розібратися з даним питанням, попередньо необхідно розглянути основні терміни та позначення, інакше зрозуміти тематику питання буде дуже складно.
Вам знадобиться
  • - папір;
  • - ручка.
Інструкція
1
Функція f (t), де t? 0, називається оригіналом, якщо: вона кусочно-безперервна або має кінцеве число точок розриву першого роду. При t0, S0> 0, S0 - зростання оригіналу). Кожному оригіналу можна поставити у відповідність функцію F (p) комплексного змінного значення р = s + iw, яка задається інтегралом Лапласа (див. Рис.1) або перетворенням Лапласа. Функція F (p) називається зображенням оригіналу f (t). Для всякого оригіналу f (t) зображення існує і визначено в напівплощини комплексної площині Re (p)> S0, де S0 - показник зростання функції f (t).
2
Тепер розглянемо поняття сверткі.Определеніе. Сверткой двох функцій f (t) і g (t), де t? 0, називається нова функція аргументу t, що визначається виразом (див. Рис. 2) Операція отримання згортки називається згортанням функцій. Для операції згортки функцій виконуються всі закони множення. Наприклад, операція згортки має властивість коммутативности, тобто згортка не залежить від порядку, в якому беруться функції f (t) і g (t) f (t) * g (t) = g (t) * f (t).
3
Приклад 1. Обчисліть згортку функцій f (t) і g (t) = cos (t) .t * cost = int (0-t) (scos (ts) ds) Інтегруючи вираз по частинах: u = s, du = ds, dv = cos (ts) ds, v = -sin (ts), ви отримаєте: (- s) sin (ts) | (0-t) + int (0-t) (sin (ts ) ds = cos (ts) | (0-s) = 1-cos (t).
4
Теорема множення ізображеній.Еслі оригінал f (t) має зображення F (p), а g (t) - G (p), то твір зображень F (p) G (p) є зображення згортки функцій f ( t) * g (t) = int (0-t) (f (s) g (ts) ds), тобто для твору зображень існує згортка оригіналів: F (p) G (p) =: f (t) * g (t). Теорема множення дозволяє знаходити оригінал, відповідний добутку двох зображень F1 (p) і F2 (p), якщо відомі оригінали. Для цього існують спеціальні і вельми обширні таблиці відповідності оригіналів та зображень. Ці таблиці маються на будь-якому математичному довіднику.
5
Приклад 2. Знайдіть зображення згортки функцій exp (t) * sin (t) = int (0-t) (exp (ts) sin (s) ds) .За таблиці відповідності оригіналів та зображень оригіналу sin (t ): = 1/(p ^ 2 + 1), а exp (t): = 1/(p-1). Значить, відповідне зображення буде мати вигляд: 1/((p ^ 2 + 1) (p-1)). Приклад 3. Знайдіть (можна в інтегральному вигляді) оригінал w (t), зображення якого має відW (p) = 1/(5 (р-2)) - (р + 2)/(5 (р ^ 2 + 1) , перетворивши це зображення на витвір W (p) = F (p) G (p) .F (p) G (p) = (1/(p-2)) (1/(p ^ 2 + 1)). За таблицями відповідності оригіналів та зображень: 1/(p-2) =: exp (2t), 1/(p ^ 2 + 1) =: sin (t). Бажаємий оригінал w (t) = exp (2t) * sint = sint int (0-t) (exp (2 (ts)) sin (s) ds), тобто (див. рис.3):
Корисна порада
Література: 1. Письмовий Д.Т. Конспект лекцій з вищої математики, ч.2. Айріс-прес, 2006. -256 с.2. Кюн О.І., Єфремов О.А. Методичні рекомендації по операційному численню. Тамбов: Тамбовське ВВАІУ, 1986, - 64 с.