Як знайти кутовий коефіцієнт дотичній.

Пряма y = f (x) буде дотичній до зображеного на малюнку графіку в точці х0 в тому випадку, якщо вона проходить через точку з координатами (х0; f (x0)) і володіє кутовим коефіцієнтом f '(x0) . Знайти такий коефіцієнт, знаючи особливості дотичній, нескладно.
Вам знадобиться
  • - математичний довідник;
  • - простий олівець;
  • - зошит;
  • - транспортир;
  • - циркуль;
  • - ручка.
Інструкція
1
Зверніть увагу на те, що графік дифференцируемой в точці х0 функції f (x) нічим не відрізняється від відрізка дотичної. Зважаючи на це, він досить близький до відрізка l, який проходить через точки (х0; f (х0)) і (х0 +? X; f (x0 +? X)). Для того щоб задати пряму, яка проходить через якусь точку А з коефіцієнтами (х0; f (х0)), слід вказати її кутовий коефіцієнт. При цьому кутовий коефіцієнт дорівнює? Y/? X січною дотичній (? Х? 0) і прагне числу f '(x0).
2
Якщо значення f '(x0) не існує, то або дотичній немає, або вона проходить вертикально. Зважаючи на це, наявність похідної функції в точці х0 обумовлено існуванням невертикальною дотичній, дотичної до графіка функції в точці (х0, f (х0)). В цьому випадку кутовий коефіцієнт дотичній дорівнює буде f '(х0). Таким чином, стає ясний геометричний зміст похідної - розрахунок кутового коефіцієнта дотичної.
3
Зобразіть на малюнку додаткові дотичні, які б стикалися з графіком функції в точках x1, х2 і х3, а також відзначте кути, утворені цими дотичними з віссю абсцис (такий кут відраховують в позитивному напрямку від осі до дотичній прямій). Приміром, перший кут, тобто,? 1, буде гострим, другий (? 2) - тупий, а третій (? 3) дорівнює нулю, оскільки проведена дотична пряма паралельна осі ОХ. В такому випадку тангенс тупого кута - від'ємне значення, тангенс гострого кута - позитивне, а при tg0 результат дорівнює нулю.
Зверніть увагу
Правильно визначте кут, утворений дотичною. Для цього використовуйте транспортир.
Корисна порада
Дві похилі прямі будуть паралельними в тому випадку, якщо їх кутові коефіцієнти рівні між собою; перпендикулярними, якщо твір кутових коефіцієнтів цих дотичних одно -1.
Геометричний зміст похідної першого порядку функції F (х) являє собою дотичну пряму до її графіку, яка стелиться через задану точку кривої і збігається з нею в цій точці. Причому значення похідної в даній точці х0 є кутовим коефіцієнтом чи інакше - тангенсом кута нахилу дотичній прямій k = tg a = F` (х0). Обчислення даного коефіцієнта - одна з найбільш поширених завдань теорії функцій.
Інструкція
1
Запишіть задану функцію F (x), наприклад F (x) = (x? + 15х +26). Якщо в задачі явно вказана точка, через яку проводиться дотична, наприклад, її координата х0 = -2, можна обійтися без побудови графіка функції і додаткових прямих на декартовій системі ОХY. Знайдіть похідну першого порядку від заданої функції F` (x). У розглянутому прикладі F` (x) = (3x? + 15). Підставте задане значення аргументу х0 в похідну функції і обчисліть її значення: F` (-2) = (3 (-2)? + 15) = 27. Таким чином, ви знайшли tg a = 27.
2
При розгляді задачі, де потрібно визначити тангенс кута нахилу дотичної до графіка функції в точці перетину цього графіка з віссю абсцис, вам знадобиться спочатку знайти числове значення координат точки перетину функції з ОХ. Для наочності найкраще виконати побудову графіка функції на двомірної площини ОХY.
3
Задайте координатний ряд для абсцис, наприклад, від -5 до +5 з кроком 1. Підставляючи у функцію значення х, обчисліть відповідні їм ординати у і відкладіть на координатної площині отримані точки (х, у). З'єднайте точки плавною лінією. Ви побачите на виконаному графіку місце перетину функцією осі абсцис. Ордината функції в даній точці дорівнює нулю. Знайдіть чисельне значення відповідного їй аргументу. Для цього задану функцію, наприклад F (x) = (4x? - 16), прирівняти до нуля. Вирішіть отримане рівняння з однією змінною і обчисліть х: 4x? - 16 = 0, x? = 4, х = 2. Таким чином, згідно з умовою задачі, тангенс кута нахилу дотичної до графіка функції необхідно знайти в точці з координатою х0 = 2.
4
Аналогічно описаному раніше способу визначте похідну функції: F` (x) = 8 * x. Потім обчисліть її значення в точці з х0 = 2, що відповідає точці перетину вихідної функції з ОХ. Підставте отримане значення в похідну функції і обчисліть тангенс кута нахилу дотичній: tg a = F` (2) = 16.
5
При знаходженні кутового коефіцієнта в точці перетину графіка функції з віссю ординат (ОY) виконайте аналогічні дії. Тільки координату шуканої точки х0 відразу слід прийняти рівною нулю.