Як знайти кут між медіаною і стороною.

Завдання по знаходженню кута багатокутника при відомих кількох його параметрів достатньо проста. У разі визначення кута між медіаною трикутника і однієї із сторін зручно використовувати векторний спосіб. Для того щоб задати трикутник, достатньо двох векторів його сторін.
Інструкція
1
На рис. 1 трикутник добудований до відповідного йому паралелограма. При цьому відомо, що в точці перетину діагоналей паралелограма вони діляться навпіл. Тому АТ є медіаною трикутника АВС, опущена з А на сторону ВС. З цього можна зробити висновок, що необхідно знайти кут? між стороною АС трикутника і медіаною АТ. Такий же кут, відповідно до рис. 1, мається між вектором а й вектором d, відповідним діагоналі паралелограма AD. За правилом паралелограма вектор d дорівнює геометричній сумі векторів a і b, d = a + b.
2
Залишається знайти спосіб визначення кута?. Для цього слід використовувати скалярний добуток векторів. Скалярний добуток найзручніше визначити на основі тих же векторів a і d, яке визначається за формулою (a, d) = | a || d | cos ?. Тут? - Кут між векторами a і d. Оскільки скалярний добуток векторів, заданих координатами, визначається виразом: (a (ax, ay), d (dx, dy)) = axdx + aydy, | a | ^ 2 = ax ^ 2 + ay ^ 2, | d | ^ 2 = dx ^ 2 + dy ^ 2, то cos? = (axdx + aydy)/(sqrt (ax ^ 2 + ay ^ 2) sqrt (dx ^ 2 + dy ^ 2)). Крім того, сума векторів у координатній формі визначається виразом: d (dx, dy) = a (ax, ay) + b (bx, by) = {ax + bx, ay + by}, тобто dx = ax + bx, dy = ay + by.
3
Приклад. Трикутник АВС заданий векторами a (1,1) і b (2, 5) відповідно до рис.1. Знайти кут? між його медіаною АТ і стороною трикутника АС.Решеніе. Як вже було показано вище, для цього достатньо знайти кут між векторами а і d.Етот кут задається його косинусом і обчислюється у відповідності з наступним тотожністю cos? = (Axdx + aydy)/(sqrt (ax ^ 2 + ay ^ 2) sqrt (dx ^ 2 + dy ^ 2)). 1. d (dx, dy) = {1 + 2, 1 + 5} = d (3, 6) .2. cos? = (3 + 6)/(sqrt (1 + 1) sqrt (9 + 36)) = 9/(3sqrt (10)) = 3/sqrt (10). ? = Arcos (3/sqrt (10)).