Як знайти рівняння дотичної до графіка функції.

Ця інструкція містить відповідь на питання, як знайти рівняння дотичної до графіка функції. Наведена вичерпна довідкова інформація. Застосування теоретичних викладок розібрано на конкретному прикладі.
Інструкція
1
Довідковий матеріал.Для початку дамо визначення дотичній. Дотичної до кривої в даній точці М називається граничне положення січної NM, коли точка N наближається вздовж кривої до точки М.Найдем рівняння дотичної до графіка функції y = f (x).
2
Визначаємо кутовий коефіцієнт дотичної до кривої в точці М. Крива, що представляє собою графік функції y = f (x), неперервна в деякій околиці точки М (включаючи саму точку М) .Проведем січну MN1, що утворить з позитивним напрямом осі Ox кут? .Коордінати точки М (x; y), координати точки N1 (x +? x; y +? y). З отриманого трикутника MN1N можна знайти кутовий коефіцієнт цієї січної: tg? =? Y/? XMN =? XNN1 =? YПрі прагненні точки N1 по кривій до точки M січна MN1 повертається навколо точки M, причому кут? прагне до кута? між дотичною MT і позитивним напрямом осі Ox. k = tg? =? lim (? x? 0) ? ? Y/? X = f` (x) Таким чином, кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції дорівнює значенню похідної цієї функції в точці дотику. У цьому полягає геометричний зміст похідної.
3
Рівняння дотичної до заданої кривої в заданій точці М має вигляд: y - y0 = f` (x0) (x - x0), де (x0; y0) - координати точки дотику, (x; y) - поточні координати, тобто координати будь-якої точки, що належить дотичній, f` (x0) = k = tg? - Кутовий коефіцієнт дотичній.
4
Знайдемо рівняння дотичної на прімере.Дан графік функції y = x2 - 2x. Потрібно знайти рівняння дотичної в точці з абсцисою x0 = 3.Із рівняння даної кривої знаходимо ординату точки дотику y0 = 32 - 2? 3 = 3.Находім похідну, а потім обчислюємо її значення в точці x0 = 3.Імеем: y` = 2x - 2f` (3) = 2? 3 - 2 = 4.Тепер, знаючи точку (3; 3) на кривій і кутовий коефіцієнт f` (3) = 4 дотичній в цій точці, отримуємо дані рівняння: y - 3 = 4 (x - 3) або y - 4x + 9 = 0
Відео по темі
 http://www.youtube.com/watch?v=gEbM7nAo9xY
У підручнику 11 класу з алгебри учні проходять тему похідних. І ось в цьому великому параграфі особливе місце приділено для з'ясування, що ж таке дотична до графіка, і як знайти і скласти її рівняння.
Інструкція
1
Нехай дано функція y = f (x) і певна точка М з координатами а і f (a). І нехай відомо, що існує f '(a). Ссоставім рівняння дотичної. Це рівняння, як рівняння будь-який інший прямий, яка не паралельна осі ординат, має вигляд y = kx + m, тому для його складання необхідно знайти невідомі k і m. З кутовим коефіцієнтом все ясно. Якщо М належить графіку і якщо від неї можна провести дотичну, що не перпендикулярну до осі абсцис, то кутовий коефіцієнт k дорівнює f '(a). Для обчислення невідомого m використовуємо те, що шукана пряма проходить через точку М. Отже, якщо підставити координати точки в рівняння прямої, то отримаємо вірне рівність f (a) = ka + m. звідси знаходимо, що m = f (a) -ka. Залишилося тільки підставити значення коефіцієнтів у рівняння прямой.y = kx + my = kx + (f (a) -ka) y = f (a) + f '(a) (xa) З цього випливає, що рівняння має вигляд y = f (a) + f '(a) (xa).
2
Для того, щоб знайти рівняння дотичної до графіка використовують певний алгоритм. По-перше, позначте х буквою а. По-друге, обчисліть f (a). В третє, знайдіть похідну від х і обчисліть f '(a). І нарешті, підставте знайдені а, f (a) і f '(a) у формулу y = f (a) + f' (a) (xa).
3
Для того, щоб краще зрозуміти, як використовувати алгоритм, розгляньте наступне завдання. Складіть рівняння дотичної для функції y = 1/x у точці х = 1.Для вирішення цього завдання скористайтеся алгоритмом складання рівняння. Але при цьому враховуйте, що в даному прикладі дана функція f (x) = 2-х-х3, а = 0.1. В умові задачі вказано значення точки а; 2. Отже, f (a) = 2-0-0 = 2; 3. f '(x) = 0-1-3х = -1-3х; f '(a) = - 1; 4. Підставте знайдені числа в рівняння дотичної до графіка: y = f (a) + f '(a) (xa) = 2 + (- 1) (х-0) = 2-х.Ответ: y = 2-х.
Корисна порада
Для підтвердження ви можете побудувати графік функції і знайденої прямій.