Як знайти кут, якщо дано вершини трикутника.

Трикутник - це найпростіший багатокутник, для знаходження величин кутів якого за відомими параметрами (довжинах сторін, радіусів вписаних і описаних кіл та ін.) Існує кілька формул. Однак часто зустрічаються задачі, що вимагають розрахунку кутів у вершинах трикутника, який поміщений в деяку просторову систему координат.
Інструкція
1
Якщо трикутник заданий координатами всіх трьох своїх вершин (X?, Y?, Z ?, X?, Y?, Z? І X?, Y?, Z?), То почніть з обчислення довжин сторін, що утворюють той кут трикутника (?), величина якого вас цікавить. Якщо будь-яку з них добудувати до прямокутного трикутника, в якому сторона буде гіпотенузою, а її проекції на дві осі координат - катетами, то її довжину можна знайти по теоремі Піфагора. Довжини проекцій будуть рівні різниці координат початку і кінця сторони (тобто двох вершин трикутника) за відповідною осі, а значить, довжину можна виразити як квадратний корінь з суми квадратів різниць таких координатних пар. Для тривимірного простору відповідні формули двох сторін трикутника можна записати так:? ((X? -X?)? + (Y? -Y?)? + (Z? -Z?)?) І? ((X? -X? )? + (Y? -Y?)? + (Z? -Z?)?).
2
Використовуйте дві формули скалярного твори векторів - в даному випадку векторами із загальним початком є сторони трикутника, що утворюють обчислюваний кут. Одна з формул виражає скалярний твір через їх довжини, отримані вами на попередньому кроці, і косинус кута між ними:? ((X? -X?)? + (Y? -Y?)? + (Z? -Z?)? ) *? ((X? -X?)? + (Y? -Y?)? + (Z? -Z?)?) * cos (?). Інша - через суму творів координат за відповідними осях: X? * X? + Y? * Y? + Z? * Z?.
3
Прирівняти ці дві формули і висловіть з рівності косинус шуканого кута: cos (?) = (X? * X? + Y? * Y? + Z? * Z?)/(? ((X? -X ?)? + (Y? -Y?)? + (Z? -Z?)?) *? ((X? -X?)? + (Y? -Y?)? + (Z? -Z?) ?)). Тригонометрическая функція, що визначає величину кута в градусах за значенням його косинуса, називається арккосинуса - використовуйте її для запису остаточного варіанта формули знаходження кута по тривимірним координатам трикутника:? = Arccos ((X? * X? + Y? * Y? + Z? * Z?)/(? ((X? -X?)? + (Y? -Y?)? + (Z? -Z? )?) *? ((X? -X?)? + (Y? -Y?)? + (Z? -Z?)?))).