Як знайти довжину бісектриси в трикутнику.

Строго кажучи, бісектриса - це промінь, який ділив кут навпіл і має початок в тій же точці, де починаються і промені, що утворюють сторони цього кута. Однак стосовно до трикутника під биссектрисой увазі не промінь, а відрізок між однією з вершин і протилежної їй стороною фігури. Основне ж її властивість (розподіл навпіл кута в вершині) зберігається і в трикутнику. Така особливість дозволяє говорити про довжину бісектриси і використовувати відповідні формули для її обчислення.
Інструкція
1
Якщо вам відомі довжини сторін (a і b) трикутника, що утворюють розділений навпіл кут (?), То довжину бісектриси (L) можна вивести з теореми косинусів. Для цього знайдіть значення подвоєного твори довжин сторін на косинус половини кута між ними і розділіть отриманий результат на суму довжин сторін: L = 2 * a * b * cos (?/2)/(a + b).
2
Якщо величина кута, який ділиться бісектрисою, невідома, але дані довжини всіх сторін трикутника (a, b і c), то для обчислень зручніше ввести додаткову змінну - напівпериметр: p =? * (A + b + c) . Після цього частина формули довжини бісектриси (L) з попереднього кроку треба буде замінити - в чисельник дробу поставте подвоєний квадратний корінь з добутку довжин сторін, що утворюють розділений бісектрисою кут, на напівпериметр і частка від вирахування з напівпериметр довжини третьої сторони. Знаменник ж залиште без змін - це має бути сума довжин сторін розділеного кута трикутника. В результаті формула повинна виглядати так: L = 2 *? (A * b * p * (pc))/(a + b).
3
Якщо ускладнити подкоренное вираз формули з попереднього кроку, то можна обійтися і без напівпериметр. Для цього залиште знаменник (сума довжин сторін розділеного кута) без змін, а в чисельнику повинен бути квадратний корінь з добутку довжин цих же сторін на суму їх довжин, з якої віднята довжина третьої сторони, а також на суму довжин усіх трьох сторін: L = ? (a * b * (a + bc) * (a + b + c))/(a + b).
4
Якщо у вихідних умовах дано не тільки довжини сторін (a і b), що утворюють розділений бісектрисою кут, але і довжини відрізків (d і e), на які ця бісектриса поділила третю сторону, то теж доведеться витягувати квадратний корінь. Довжину бісектриси (L) в цьому випадку розраховуйте як корінь з добутку довжин відомих сторін, з якого вирахувано твір довжин відрізків: L =? (A * bd * e).
Поняття бісектриси вводиться ще в курсі геометрії сьомого класу. Бісектриса є однією з трьох основних ліній трикутника, яка виражається через його боку.
Інструкція
1
Існує кілька визначень біссектріси.Классіческіе визначення звучать так: 1. Бісектриса кута - промінь, що виходить з вершини кута і ділить його пополам.2. Бісектриса трикутника - відрізок, що з'єднує один з кутів трикутника з противолежащей стороною і ділить даний кут пополам.Кроме класичних визначень, для запам'ятовування, можна використовувати мнемонічне правило, яке звучить так: Бісектриса це щур, який бігає по кутах і ділить кут пополам.АСВ - довільний треугольнікЕслі кут САЄ дорівнює куту ЕАВ, то відрізок АЕ - бісектриса трикутника АВС, що виходить з кута А.
2
Для формування повного уявлення про бісектрисі слід розглянути її свойства.1. У будь-якому трикутнику можна провести 3 бісектриси, які перетинаються в одній точці. Точка перетину бісектрис є центром вписаного кола в даний треугольнік.2. Бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам.3. Бісектриса - геометричне місце точок, рівновіддалених від сторін кута.
3
У трикутник бісектриса, проведена до основи, є одночасно медіаною і витой. В такому випадку бісектриса знаходиться за допомогою теореми Піфагора. де DC - половина боку АС.
4
Формули для, знаходження бісектриси довільного трикутника виводяться з теореми Стюарта (М.Стюарт - англійський математик) .Якщо позначити сторони трикутника буквами а, в, с, так що АВ = с, ВС = а, АС = в, де Lc - довжина бісектриси опущеною на сторону b з кутка АВС.
5
al і cl - відрізки, на які бісектриса ділить сторону b
6
кути трикутника при вершинах А, В і С
7
Н - висота трикутника, проведена з вершини В на сторону b.