Як знайти другу похідну функції.

Диференціальні обчислення - розділ математичного аналізу, який вивчає похідні першого і вищих порядків як один з методів дослідження функцій. Друга похідна деякої функції виходить з першої повторним диференціюванням.
Інструкція
1
Похідна деякої функції в кожній точці має певне значення. Таким чином, при її диференціюванні виходить нова функція, яка також може бути дифференцируема. У цьому випадку її похідна називається другою похідною вихідної функції і позначається F '' (x).
2
Першою похідною називається межа приросту функції до приросту аргументу, тобто: F '(x) = lim (F (x) - F (x_0))/(x - x_0 ) при x? 0.Второй похідною вихідної функції є похідна функції F '(x) в тій же точці x_0, а саме: F' '(x) = lim (F' (x ) - F '(x_0))/(x - x_0).
3
Для знаходження других похідних складних функцій, які важко визначити звичайним способом, застосовують методи чисельного диференціювання. При цьому для розрахунку використовують наближені формули: F '' (x) = (F (x + h) - 2 * F (x) + F (x - h))/h ^ 2 +? (H ^ 2) F ' '(x) = (-F (x + 2 * h) + 16 * F (x + h) - 30 * F (x) + 16 * F (x - h) - F (x - 2 * h))/(12 * h ^ 2) +? (h ^ 2).
4
Основа методів чисельного диференціювання - апроксимація інтерполяційним многочленом. Наведені формули виходять в результаті подвійного диференціювання інтерполяційних многочленів Ньютона і Стірлінга.
5
Параметр h є кроком апроксимації, прийнятим для розрахунків, а? (H ^ 2) - це похибка апроксимації. Аналогічно? (H) для першої похідної ця нескінченно мала величина обернено пропорційна h ^ 2. Відповідно, вона тим більше, чим менше довжина кроку. Тому для мінімізації похибки важливо вибрати найоптимальніше значення h.Вибор оптимального значення h називається регуляризації по кроці. При цьому вважають, що є таке значення h, що вірно: | F (x + h) - F (x) |>?, Де? - Деяка мала величина.
6
Існує інший алгоритм мінімізації похибки апроксимації. Він полягає у виборі декількох точок області значень функції F поблизу початкової точки x_0. Потім обчислюються значення функції в цих точках, за якими будується лінія регресії, яка є згладжуючої для F на малому інтервалі.
7
Отримані значення функції F являють собою часткову суму ряду Тейлора: G (x) = F (x) + R, де G (x) - згладжена функція з похибкою апроксимації R. Після дворазового диференціювання отримаємо: G '' (x) = F '' (x) + R '', звідки R '' = G '' (x) - F '' (x) .Велічіна R '' як відхилення наближеного значення функції від її справжнього значення і буде мінімальною похибкою апроксимації.
Математичні методи застосовуються в багатьох галузях науки. Це твердження стосується, зокрема, диференціального числення. Наприклад, якщо вирахувати другу похідну функції відстані від змінної часу, то можна знайти прискорення матеріальної точки.
Інструкція
1
Диференціювання функції при кожному значенні області її визначення призводить до появи нової функції. Таким чином, вона теж може бути Продифференцировав. Результатом цієї вторинної операції буде друга похідна вихідної функції.
2
Правила і методи диференціювання зберігаються для похідних вищих порядків. Це стосується деяких елементарних функцій, операцій додавання, твори і ділення, а також складних функцій виду u (g (х)): • u '= С' = 0 - похідна константи; • u '= х' = 1 - найпростіша функція одного аргументу; • u '= (х ^ а)' = а • х ^ (а-1); • u '= (а ^ х)' = а ^ х • ln а - показова функція;
3
Основні тригонометричні функції також є табличними: • u '= (sin х)' - соs х; • u '= (соs х)' = -sin х; • u '= (tg х)' = 1/соs? х; • u '= (ctg х)' = - 1/sin? х.
4
Арифметичні операції пари функцій u (х) і g (х): • (u + g) '= u' + g '; • (u • g)' = u '• g + g' • u ; • (u/g) '= (u' • g - g '• u)/g?.
5
Досить важко вирахувати другу похідну складної функції. Для цього застосовують методи чисельного диференціювання, хоча результат виходить наближеним, присутня так звана похибка апроксимації?: U '' (х) = (u (х + h) - 2 • u (х) + u (х - h))/h ? +? (H?) - Інтерполяційний многочлен Ньютона; u '' (х) = (-u (х + 2 • h) + 16 • u (х + h) - 30 • u (х) + 16 • u (х - h) - u (х - 2 • h))/(12 • h?) +? (h?) - формула Стрілінга.
6
У цих формулах присутня якась величин h. Вона називається кроком апроксимації, вибір якого повинен бути оптимальним, щоб мінімізувати похибку обчислення. Підбір правильного значення h називається регуляцією по кроці: | u (х + h) - u (х) |>?, Де? нескінченно мало.
7
Метод обчислення другої похідної застосовується при знаходження повного диференціала другого порядку. При цьому вона приватно розраховується для кожного аргументу і бере участь в кінцевому вираженні у вигляді множника відповідного диференціала dх, dy і т.д.: d? u =? u '/? х • d? х +? u'/? y • d? у +? u '/? z • d? z.
8
Приклад: знайдіть друга похідну функції u = 2 • х • sin х - 7 • х? + Х ^ 5/tg х.
9
Решеніеu '= 2 • sin x + 2 • х • соs х - 21 • х? + 5 • х ^ 4/tg х - х?/Sin? х; u '' = 4 • соs х - 2 • х • sin х - 42 • х + 20 • х?/tg х - 5 • х ^ 4/sin? х - 2 • х/sin? х + 2 • х? • соs х/sin? х.