Як знайти синус кута між векторами.

Вектор в багатовимірному евклідовому просторі задається координатами своєї початкової точки і точки, що визначає його величину і напрям. Різниця між напрямками двох таких векторів визначається величиною кута. Часто в різного роду завданнях з області фізики і математики пропонується знайти не сам цей кут, а величину похідною від нього тригонометричної функції - синуса.
Інструкція
1
Використовуйте для визначення синуса кута між двома векторами відомі формули скалярного множення векторів. Таких формул існує, як мінімум, дві. В одній з них в якості змінної задіяний косинус потрібного кута , дізнавшись який ви зможете обчислити і синус.
2
Складіть рівність і виокремити з нього косинус. За однією формулою скалярний добуток векторів одно їх довжинах, перемноження один на одного і на косинус кута , а за іншою - сумі творів координат уздовж кожної з осей. Прирівнявши обидві формули можна зробити висновок, що косинус кута повинен бути рівний відношенню суми добутків координат до твору довжин векторів.
3
Запишіть отримане рівність. Для цього треба позначити координати обох векторів. Припустимо, вони дані в тривимірній декартовій системі і їх початкові точки перенесені на початок координатної сітки. Напрямок та величина першого вектора буде задана точкою (X?, Y?, Z?), Друга - (X?, Y?, Z?), А кут позначте буквою?. Тоді довжини кожного з векторів можна вирахувати, наприклад, по теоремі Піфагора для трикутників, утворених їх проекціями на кожну з координатних осей:? (X + Y + Z ) і? (X + Y + Z ). Підставте ці вирази в сформульовану на попередньому кроці формулу і ви отримаєте таку рівність: cos (?) = (X? * X? + Y? * Y? + Z? * Z?)/(? (X + Y + Z ) *? (X + Y + Z )).
4
Використовуйте той факт, що сума зведених в квадрат значень синуса і ко синуса від кута однієї величини завжди дає одиницю. Значить, звівши отримане на попередньому кроці вираз для ко синуса в квадрат і віднявши від одиниці, а потім знайди квадратний корінь, ви вирішите задачу. Запишіть потрібну формулу в загальному вигляді: sin (?) =? (1-cos (?)?) =? (1 - ((X? * X? + Y? * Y? + Z? * Z?)/(? (X + Y + Z ) *? (X + Y + Z ))?) =? (1 - ((X? * X? + Y? * Y? + Z? * Z?)?/((X + Y + Z ) * (X + Y + Z ))).