Як знайти похідну від дробу. Похідна від дробу.

Поява диференціального числення викликано необхідністю вирішувати конкретні фізичні задачі. Передбачається, що людина, що володіє диференціальним обчисленням, вміє брати похідні від різних функцій. Чи вмієте ви брати похідну від функції, вираженої дробом?
Інструкція
1
Будь-яка дріб має чисельник і знаменник. В процесі знаходження похідної від дроби буде потрібно знаходити окремо похідну чисельника і похідну знаменника.
2
Щоб знайти похідну від дроби, похідну чисельника домножьте на знаменник. Відніміть з отриманого виразу похідну знаменника, помножену на чисельник. Результат розділіть на знаменник в квадраті.
3
Приклад 1 [sin (x)/cos (x)] '= [sin' (x) · cos (x) - cos '(x) · sin (x)]/cos? (X) = [cos (x) · cos (x) + sin (x) · sin (x)]/cos? (X) = [cos? (X) + sin? (X)]/cos? (X) = 1/cos? (X).
4
Отриманий результат є нічим іншим, як табличним значенням похідної функції тангенса. Воно й зрозуміло, адже ставлення синуса до косинусу і є, за визначенням, тангенс. Отже, tg (x) = [sin (x)/cos (x)] '= 1/cos? (X).
5
Приклад 2 [(x? - 1)/6x] '= [(2x · 6x - 6 · x?)/6?] = [12x? - 6x?]/36 = 6x?/36 = x?/6.
6
Окремим випадком дроби є така дріб, у якої в знаменнику одиниця. Знайти похідну від такого виду дроби простіше: достатньо уявити її у вигляді знаменника зі ступенем (-1).
7
Приклад (1/x) '= [x ^ (- 1)]' = -1 · x ^ (- 2) = -1/x?.
Зверніть увагу
Дріб може містити в своєму складі ще кілька дробів. В такому випадку зручніше знаходити спочатку окремо похідні «первинних» дробів.
Корисна порада
Коли ви шукайте похідні знаменника і чисельника, застосовуйте правила диференціювання: суми, твори, складних функцій. Корисно пам'ятати похідні найпростіших табличних функцій: лінійної, показовою, статечної, логарифмічною, тригонометричних і т.д.