Як вирішити нерівність логарифмів.

Логарифмічні нерівність - це нерівність, що містить в собі логарифми. Якщо ви готуєтеся здавати ЄДІ з математики, важливо вміти вирішувати логарифмічні рівняння і нерівності.
Інструкція
1
Переходячи до вивчення нерівностей з логарифмами, ви повинні вже вміти вирішувати логарифмічні рівняння, знати властивості логарифмів, основне логарифмічне тотожність.
2
Вирішення всіх завдань на логарифми починайте з знаходження ОДЗ - області допустимих значень. Вираз під логарифмом повинно бути позитивним, підстава логарифма має бути більше нуля і не дорівнювати одиниці. Слідкуйте за рівносильних перетворень. ОДЗ на кожному кроці має залишатися одним і тим же.
3
При вирішенні логарифмічних нерівностей важливо, щоб з двох сторін від знака порівняння були логарифми, причому з одним і тим же підставою. Якщо з будь-якої сторони представлено число, запишіть його у вигляді логарифма, застосовуючи основне логарифмічне тотожність. Число b дорівнює числу a у ступені log, де log - логарифм b по підставі a. Основна логарифмічна торжество є, по суті, визначенням логарифма.
4
Вирішуючи логарифмічне нерівність , зверніть увагу на підставу логарифма. Якщо воно більше одиниці, то при позбавленні від логарифмів, тобто при переході до простого числовому нерівності, знак нерівності залишається тим же. Якщо основа логарифма від нуля до одиниці, знак нерівності змінюється на протилежний.
5
Корисно пам'ятати ключові властивості логарифмів. Логарифм одиниці дорівнює нулю, логарифм числа a за основою a дорівнює одиниці. Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів, логарифм приватного дорівнює різниці логарифмів. Якщо подлогаріфменное вираз зводиться у ступінь B, то її можна винести за знак логарифма. Якщо основа логарифма зводиться у ступінь A, за знак логарифма можна винести число 1/A.
6
Якщо основа логарифма представлено деяким виразом Q, що містить змінну x, необхідно розглянути два випадки: Q (x)? (1; +?) І Q (x)? (0; 1). Відповідно цьому ставиться і знак нерівності при переході від логарифмічного порівняння до простого алгебраическому.
Логарифмічні нерівності - це нерівності, містять невідоме під знаком логарифма і (або) у його. При вирішенні логарифмічних нерівностей часто використовують наступні твердження.
Вам знадобиться
  • Уміння вирішувати системи і сукупності нерівностей
Інструкція
1
Якщо основа логарифма а> 0, то нерівність logaF (x)> logaG (x) рівносильне системі нерівностей F (x)> G (x), F (x)> 0, G (x)> 0. Розглянемо приклад: lg (2x ^ 2 + 4x + 10)> lg (x ^ 2-4x + 3). Перейдемо в равносильной системі нерівностей: 2x ^ 2 + 4x + 10> x ^ 2-4x + 3, 2x ^ 2 + 4x + 10> 0, x ^ 2-4x + 3> 0. Вирішивши цю систему, отримуємо рішення даної нерівності: х належить проміжкам (-нескінченно, -7), (-1,1), (3, + нескінченності).
2
Якщо основа логарифма знаходиться в інтервалі від 0 до 1, то нерівність logaF (x)> logaG (x) рівносильне системі нерівностей F (x) 0, G (x)> 0. Наприклад, log (x + 25) по підставі 0.5> log (5x-10) по підставі 0,5. Перейдемо в равносильной системі нерівностей: x + 25 <8x-10, x + 25> 0, 8x-10> 0. При вирішенні даної системи нерівностей, отримуємо x> 5, що і буде рішенням початкового нерівності.
3
Якщо невідоме стоїть і під знаком логарифма і в його підставі, то рівняння logF (x) по підставі h (x)> logG (x) по підставі h (x) рівносильне сукупності систем: 1 система - h (x )> 1, F (x)> G (x), F (x)> 0, G (x)> 0; 2 - 00, G (x)> 0. Наприклад, log (5-x) по підставі (x + 2)/(x-3)> log (4-x) по підставі (x + 2). Здійснимо рівносильний перехід до сукупності систем нерівностей: 1 система - (x + 2)/(x-3)> 1, x + 2> 4-x, x + 2> 0, 4-x> 0; 2 система - 0 <(x + 2)/(x-3) <1, x + 2 <4-x, x + 2> 0, 4-x> 0. Вирішуючи дану сукупність систем, отримуємо 3
4
Деякі логарифмічні рівняння можливо вирішити за допомогою заміни змінної. Наприклад, (lgX) ^ 2 + lgX-2> = 0. Позначимо lgX = t, тоді отримуємо рівняння t ^ 2 + t-2> = 0, вирішуючи яке отримуємо t <= - 2 або t> = 1. Таким чином отримуємо сукупність нерівностей lgX <= 2, lgX> = 1. Вирішуємо їх, x> = 10 ^ (- 2)? 00.
Зверніть увагу
В 1-3 твердженнях можуть стояти будь-які знаки (> =,
Корисна порада
Логарифм з основою 10, називається десятковим і позначається lgX.Логаріфм з основою 2,7 називається натуральним і позначається lnX.